Exercice 20

1. On applique la formule avec $n=5$ et $p=0{,}4$ : $$\begin{aligned} P(X=0) &= 0{,}6^5\approx 0{,}0778 & P(X=1) &= 5\times 0{,}4\times 0{,}6^4\approx 0{,}2592\\ P(X=2) &= 10\times 0{,}4^2\times 0{,}6^3\approx 0{,}3456 & P(X=3) &= 10\times 0{,}4^3\times 0{,}6^2\approx 0{,}2304\\ P(X=4) &= 5\times 0{,}4^4\times 0{,}6\approx 0{,}0768 & P(X=5) &= 0{,}4^5\approx 0{,}0102 \end{aligned}$$ On retrouve bien les hauteurs des six bâtons.

2. On additionne : $$0{,}0778+0{,}2592+0{,}3456+0{,}2304+0{,}0768+0{,}0102=\boxed{1}$$ (la somme est exactement égale à $1$, les écarts n'étant dus qu'aux arrondis).

3. On applique les formules de la proposition 6 : $$\boxed{E(X)=5\times 0{,}4=2} \qquad \boxed{V(X)=5\times 0{,}4\times 0{,}6=1{,}2} \qquad \boxed{\sigma(X)=\sqrt{1{,}2}\approx 1{,}10}$$

4. Le bâton le plus haut est celui de $k=2$ : $$\boxed{\text{la valeur la plus probable de }X\text{ est }2}$$ Elle coïncide ici avec l'espérance, mais ce n'est pas une règle générale : l'espérance n'est d'ailleurs pas toujours un entier.