ExerciceTerminale, chapitre 2 — Probabilités · Loi binomiale

Exercice 24 Python

Algorithmique

On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ .

1. Recopier et compléter la fonction proba(n,p,k) ci-dessous, qui renvoie $P(X=k)$ . On rappelle que comb(n,k) du module math renvoie $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ .

from math import comb

def proba(n, p, k):
    return ...

2. Écrire une fonction cumul(n,p,k) qui renvoie $P(X\leqslant k)$ , en utilisant une boucle et la fonction précédente.

3. On reprend la situation de l'exercice 23. Recopier et compléter la fonction suivante, qui renvoie le plus petit entier $n$ tel que $P(X_n\geqslant 1)\geqslant s$ :

def seuil(s):
    n = 0
    while ... :
        n = n + 1
    return n

4. Que renvoie seuil(0.95) ? Et seuil(0.99) ?

Corrigé

1. Il suffit de traduire la formule $P(X=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$ :

from math import comb

def proba(n, p, k):
    return comb(n, k) * p**k * (1-p)**(n-k)

2. La probabilité cumulée est la somme des probabilités de $0$ à $k$ :

def cumul(n, p, k):
    s = 0
    for i in range(k+1):
        s = s + proba(n, p, i)
    return s

3. On incrémente $n$ tant que le seuil n'est pas atteint :

def seuil(s):
    n = 0
    while 1 - 0.98**n < s :
        n = n + 1
    return n

On peut aussi écrire la condition sous la forme 1 - proba(n, 0.02, 0) < s.

4. La fonction renvoie le plus petit entier $n$ tel que $P\left(X_n\geqslant 1\right)$ dépasse le seuil : $\boxed{\texttt{seuil(0.95)}\text{ renvoie }149 \qquad\text{et}\qquad \texttt{seuil(0.99)}\text{ renvoie }228}$ On retrouve bien le résultat de l'exercice 23.

Énoncé PDF, p. 6 Corrigé PDF, p. 13 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition

Thèmes

variable aléatoire, coefficient binomial, loi binomiale, seuil

Notions

variable aléatoire, loi (d'une variable aléatoire)