Exercice 25 Type Bac

1. Le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise : les $30$ prélèvements sont donc des épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de succès « le composant est défectueux » et de paramètre $p=0{,}04$. La variable $X$ compte le nombre de succès : $$\boxed{X\sim\mathcal{B}(30\,;0{,}04)}$$

2. $P(X=0)=\begin{pmatrix}30\\0\end{pmatrix}\times 0{,}04^0\times 0{,}96^{30}=0{,}96^{30}$ : $$\boxed{P(X=0)\approx 0{,}294}$$

3. $P(X=2)=\begin{pmatrix}30\\2\end{pmatrix}\times 0{,}04^2\times 0{,}96^{28}=435\times 0{,}0016\times 0{,}96^{28}$ : $$\boxed{P(X=2)\approx 0{,}222}$$

4. On passe par l'événement contraire : $$P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)\approx 1-0{,}294 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{P(X\geqslant 1)\approx 0{,}706}$$

5. « Au plus deux » signifie $0$, $1$ ou $2$ composants défectueux : $$P(X\leqslant 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{P(X\leqslant 2)\approx 0{,}883}$$

6. Le lot est refusé lorsque $X>3$, c'est-à-dire lorsque $X\geqslant 4$, événement contraire de $(X\leqslant 3)$ : $$P(X\geqslant 4)=1-P(X\leqslant 3)\approx 1-0{,}969 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{P(X\geqslant 4)\approx 0{,}031}$$ Environ $3\,\%$ des lots sont donc refusés.

7. On applique les formules de la loi binomiale : $$\boxed{E(X)=30\times 0{,}04=1{,}2} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\sigma(X)=\sqrt{30\times 0{,}04\times 0{,}96}\approx 1{,}07}$$ Sur un grand nombre de lots de $30$ composants, on compte en moyenne $1{,}2$ composant défectueux par lot.