Exercice 26 Type Bac

1. Une partie est constituée de $5$ lancers identiques et indépendants, chacun n'ayant que deux issues : atteindre la zone centrale (succès, de probabilité $0{,}2$) ou non. La variable $N$ compte le nombre de succès : $$\boxed{N\sim\mathcal{B}(5\,;0{,}2)}$$

2. On applique la formule du cours : $$P(N=0)=0{,}8^5\approx\boxed{0{,}328} \qquad ; \qquad P(N=1)=5\times 0{,}2\times 0{,}8^4\approx\boxed{0{,}410}$$

3. Le joueur remporte $2$ euros par succès et paie $3$ euros pour jouer : $$\boxed{G=2N-3}$$

4. L'espérance de $N$ vaut $E(N)=5\times 0{,}2=1$. La linéarité de l'espérance donne alors, sans qu'il soit nécessaire de déterminer la loi de $G$ : $$E(G)=2\,E(N)-3=2\times 1-3 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{E(N)=1\text{ et }E(G)=-1}$$

5. L'espérance de gain étant négative, le jeu n'est pas favorable au joueur : celui-ci perd en moyenne $1$ euro par partie. Pour un prix de $x$ euros, on aurait $E(G)=2\times 1-x$, qui s'annule pour : $$\boxed{x=2\text{ euros}}$$

6. On applique la formule de l'écart-type d'une loi binomiale, puis la linéarité : $$\sigma(N)=\sqrt{5\times 0{,}2\times 0{,}8}=\sqrt{0{,}8}\approx\boxed{0{,}89}$$

$$\sigma(G)=|2|\times\sigma(N)=2\sqrt{0{,}8}\approx\boxed{1{,}79}$$ (le $-3$ n'intervient pas : ajouter une constante ne modifie pas la dispersion).