Exercice 27 Type Bac

Partie A

1. Le tirage du jeton et le lancer du dé sont indépendants. On obtient l'arbre suivant, où l'on a indiqué sur chaque branche du second niveau la probabilité de gagner ou de perdre :

Les événements $B$ et $\overline{B}$ formant une partition de l'univers, on somme les deux chemins menant à $G$ : $$P(G)=\frac{1}{10}\times\frac{5}{6}+\frac{9}{10}\times\frac{1}{6} =\frac{5}{60}+\frac{9}{60}=\frac{14}{60} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{P(G)=\frac{7}{30}}$$

2. On cherche la probabilité de $B$ sachant $\overline{G}$. D'une part $P\left(\overline{G}\right)=1-\dfrac{7}{30}=\dfrac{23}{30}$, d'autre part le chemin « jeton blanc puis défaite » donne $P\left(B\cap\overline{G}\right) =\dfrac{1}{10}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{60}$. Ainsi : $$P_{\overline{G}}(B)=\frac{P\left(B\cap\overline{G}\right)}{P\left(\overline{G}\right)} =\frac{\frac{1}{60}}{\frac{23}{30}}=\frac{1}{60}\times\frac{30}{23} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{P_{\overline{G}}(B)=\frac{1}{46}\approx 0{,}022}$$

3. (a) Les parties sont identiques et indépendantes, et chacune n'a que deux issues : gagner (avec la probabilité $\frac{7}{30}$) ou perdre. $$\boxed{X\sim\mathcal{B}\left(n\,;\frac{7}{30}\right)}$$

(b) L'événement « gagner au moins une partie » est le contraire de « n'en gagner aucune » : $$P(X\geqslant 1)=1-P(X=0) \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{P(X\geqslant 1)=1-\left(\frac{23}{30}\right)^{n}}$$

(c) On cherche le plus petit entier $n$ tel que $\left(\dfrac{23}{30}\right)^{n}\leqslant 0{,}01$. La calculatrice donne : $$\left(\frac{23}{30}\right)^{17}\approx 0{,}0109>0{,}01 \qquad\text{et}\qquad \left(\frac{23}{30}\right)^{18}\approx 0{,}0084<0{,}01$$

Partie B

1. Le joueur paie $1$ euro dans tous les cas et reçoit $5$ euros s'il gagne : son gain algébrique vaut donc $4$ euros en cas de victoire et $-1$ euro sinon.

2. L'espérance étant strictement positive, on a $E(Y)>0$ : $$\boxed{\text{le jeu n'est pas favorable à l'organisateur}}$$ Celui-ci perd en moyenne environ $17$ centimes par partie jouée.

3. Le sac contient alors $n$ jetons noirs et un jeton blanc, soit $n+1$ jetons au total. En reprenant l'arbre de la partie A : $$\begin{aligned} P(G) &= \frac{1}{n+1}\times\frac{5}{6}+\frac{n}{n+1}\times\frac{1}{6}\\ &= \frac{5}{6(n+1)}+\frac{n}{6(n+1)} \end{aligned}$$

4. Le gain algébrique vaut toujours $4$ en cas de victoire et $-1$ sinon, donc : $$E(Y)=4\,P(G)-\big(1-P(G)\big)=5\,P(G)-1$$ Le jeu est défavorable à l'organisateur lorsque $E(Y)>0$, c'est-à-dire lorsque $P(G)>\dfrac{1}{5}$ : $$\begin{aligned} \frac{n+5}{6(n+1)}>\frac{1}{5} &\iff 5(n+5)>6(n+1)\\ &\iff 5n+25>6n+6\\ &\iff 19>n \end{aligned}$$

$$\boxed{\text{le jeu est défavorable à l'organisateur pour }n\leqslant 18}$$ Avec $9$ jetons noirs, l'organisateur perd donc bien de l'argent : il lui en faudrait au moins $19$.