ExerciceTerminale, chapitre 2 — Probabilités · Exercices de synthèse

Exercice 28 Type Bac

Type BacCalcul

Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une partie de la population d'une ville. Une étude menée à l'issue de la période hivernale a permis de constater que :

• $40\,\%$ de la population est vaccinée ;

• $8\,\%$ des personnes vaccinées ont contracté la grippe ;

• $20\,\%$ de la population a contracté la grippe.

On choisit une personne au hasard dans la population de la ville, et on considère les événements $V$ : « la personne est vaccinée » et $G$ : « la personne a contracté la grippe ».

Partie A

1. Donner $P(V)$ et $P(G)$ , puis représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Déterminer la probabilité que la personne choisie soit vaccinée et ait contracté la grippe.

3. La personne choisie n'est pas vaccinée. Montrer que la probabilité qu'elle ait contracté la grippe est égale à $0{,}28$ .

4. Les événements $V$ et $G$ sont-ils indépendants ? Commenter ce résultat.

Partie B

Dans cette partie, les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$ . Un laboratoire interroge au hasard $n$ habitants de la ville, ce choix étant assimilé à $n$ tirages successifs, indépendants et avec remise. On note $X$ le nombre de personnes vaccinées parmi les $n$ interrogées.

1. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$  ?

2. Dans cette question, on suppose que $n=40$ .

(a) Déterminer la probabilité qu'exactement $15$ des $40$ personnes interrogées soient vaccinées.

(b) Déterminer la probabilité qu'au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée.

(c) Déterminer la probabilité qu'entre $5$ et $10$ des personnes interrogées soient vaccinées.

(d) Déterminer $E(X)$ et interpréter le résultat dans le cadre de l'exercice.

3. Dans cette question, $n$ désigne un entier naturel non nul.

(a) Déterminer le nombre minimal de personnes à interroger pour qu'en moyenne, au moins $100$ soient vaccinées.

(b) Exprimer $P(X=0)$ en fonction de $n$ .

(c) Déterminer le nombre minimal de personnes à interroger pour que la probabilité qu'au moins l'une d'elles soit vaccinée dépasse $0{,}99$ .

Corrigé

Partie A

1. L'énoncé donne directement $\boxed{P(V)=0{,}4}$ et $\boxed{P(G)=0{,}2}$ , ainsi que $P_V(G)=0{,}08$ .

2. On multiplie les probabilités le long du chemin : $P(V\cap G)=P(V)\times P_V(G)=0{,}4\times 0{,}08 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{P(V\cap G)=0{,}032}$

3. Les événements $V$ et $\overline{V}$ forment une partition de l'univers, donc : $P(G)=P(V\cap G)+P\left(\overline{V}\cap G\right) \implies P\left(\overline{V}\cap G\right)=0{,}2-0{,}032=0{,}168$

P_{\overline{V}}(G)=\frac{P\left(\overline{V}\cap G\right)}{P\left(\overline{V}\right)} =\frac{0{,}168}{0{,}6} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{P_{\overline{V}}(G)=0{,}28}

4. On compare $P(V\cap G)=0{,}032$ au produit $P(V)\times P(G)=0{,}4\times 0{,}2=0{,}08$ . Ces deux nombres sont différents : $\boxed{V\text{ et }G\text{ ne sont pas indépendants}}$ C'est heureux : la probabilité de contracter la grippe passe de $0{,}28$ chez les non-vaccinés à $0{,}08$ chez les vaccinés, ce qui traduit l'efficacité du vaccin.

Partie B

1. Les $n$ interrogations sont assimilées à des tirages successifs, indépendants et avec remise ; chacune n'a que deux issues, « la personne est vaccinée » (de probabilité $0{,}4$ ) ou non. $\boxed{X\sim\mathcal{B}(n\,;0{,}4)}$

2. (a) $P(X=15)=\begin{pmatrix}40\\15\end{pmatrix}\times 0{,}4^{15}\times 0{,}6^{25}$ , d'où $\boxed{P(X=15)\approx 0{,}123}$

(b) « Au moins la moitié » signifie $X\geqslant 20$ : $P(X\geqslant 20)=1-P(X\leqslant 19)\approx\boxed{0{,}130}$

(c) On ramène l'encadrement à des probabilités cumulées : $P(5\leqslant X\leqslant 10)=P(X\leqslant 10)-P(X\leqslant 4)\approx\boxed{0{,}035}$

(d) $E(X)=40\times 0{,}4=\boxed{16}$ : en interrogeant $40$ habitants, on peut s'attendre à en trouver $16$ vaccinés en moyenne.

3. (a) On cherche le plus petit entier $n$ tel que $E(X)\geqslant 100$ : $0{,}4n\geqslant 100 \iff n\geqslant 250 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{n=250\text{ personnes}}$

(b) Aucune personne vaccinée signifie $n$ échecs consécutifs : $\boxed{P(X=0)=0{,}6^{\,n}}$

(c) On cherche le plus petit entier $n$ tel que $1-0{,}6^{\,n}>0{,}99$ , c'est-à-dire tel que $0{,}6^{\,n}<0{,}01$ . La calculatrice donne $0{,}6^{9}\approx 0{,}0101$ et $0{,}6^{10}\approx 0{,}0060$ : $\boxed{n=10\text{ personnes}}$

Énoncé PDF, p. 8 Corrigé PDF, p. 17 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités

Thèmes

arbre pondéré, probabilité conditionnelle, indépendance, loi de probabilité, espérance, coefficient binomial, loi binomiale, seuil

Notions

espace probabilisé, indépendance, loi (d'une variable aléatoire), espérance