ExerciceTerminale, chapitre 2 — Probabilités · Exercices de synthèse

Exercice 29 Type Bac

Type BacDémonstrationCalcul

Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres provenant de trois horticulteurs : $35\,\%$ des plants proviennent de l'horticulteur $H_1$ , $25\,\%$ de l'horticulteur $H_2$ , et le reste de l'horticulteur $H_3$ . Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles. La livraison de $H_1$ comporte $80\,\%$ de conifères, celle de $H_2$ seulement $50\,\%$ , et celle de $H_3$ seulement $30\,\%$ .

1. Le gérant choisit un arbre au hasard dans son stock. On note $H_i$ l'événement « l'arbre provient de l'horticulteur $H_i$  » et $C$ l'événement « l'arbre choisi est un conifère ».

(a) Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

(b) Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère provenant de $H_3$ .

(c) Justifier que $P(C)=0{,}525$ .

(d) L'arbre choisi est un conifère. Quelle est la probabilité qu'il provienne de $H_1$  ? Arrondir à $10^{-3}$ .

2. On choisit au hasard un échantillon de $10$ arbres dans le stock, suffisamment important pour assimiler ce choix à un tirage avec remise. On note $X$ le nombre de conifères de l'échantillon.

(a) Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

(b) Calculer $E(X)$ et interpréter ce résultat.

(c) Quelle est la probabilité que l'échantillon comporte exactement $5$ conifères ? Arrondir à $10^{-3}$ .

(d) Quelle est la probabilité que l'échantillon comporte au moins deux arbres à feuilles ?

3. Soit $n$ un entier supérieur à $1$ . On choisit cette fois un échantillon de $n$ arbres, et on note $A_n$ l'événement « au moins un des $n$ arbres choisis est un conifère ».

(a) Montrer que $P\left(A_n\right)=1-0{,}475^{\,n}$ .

(b) Déterminer à la calculatrice la taille minimale de l'échantillon pour que $P\left(A_n\right)\geqslant 0{,}9999$ .

(c) Déterminer la taille minimale de l'échantillon pour qu'en moyenne, au moins $100$ des $n$ arbres choisis soient des conifères.

Corrigé

1. (a) Les trois horticulteurs se partagent la totalité du stock, donc $P\left(H_3\right)=1-0{,}35-0{,}25=0{,}40$ .

(b) On multiplie les probabilités le long du chemin : $P\left(H_3\cap C\right)=0{,}40\times 0{,}30=\boxed{0{,}12}$

(c) Les trois horticulteurs formant une partition du stock : $\begin{aligned} P(C) &= P\left(H_1\cap C\right)+P\left(H_2\cap C\right)+P\left(H_3\cap C\right)\\ &= 0{,}35\times 0{,}8+0{,}25\times 0{,}5+0{,}40\times 0{,}3\\ &= 0{,}28+0{,}125+0{,}12 \end{aligned}$

\boxed{P(C)=0{,}525}

(d) On applique la définition d'une probabilité conditionnelle : $P_C\left(H_1\right)=\frac{P\left(H_1\cap C\right)}{P(C)}=\frac{0{,}28}{0{,}525} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{P_C\left(H_1\right)\approx 0{,}533}$

2. (a) Le stock est suffisamment important pour assimiler le choix des $10$ arbres à un tirage avec remise : les $10$ prélèvements sont donc des épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de succès « l'arbre est un conifère » et de paramètre $0{,}525$ . $\boxed{X\sim\mathcal{B}(10\,;0{,}525)}$

(b) $E(X)=10\times 0{,}525=\boxed{5{,}25}$ : sur un grand nombre d'échantillons de $10$ arbres, on compte en moyenne $5{,}25$ conifères par échantillon.

(c) $P(X=5)=\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}\times 0{,}525^5\times 0{,}475^5=252\times 0{,}525^5\times 0{,}475^5$ : $\boxed{P(X=5)\approx 0{,}243}$

(d) L'échantillon comporte au moins deux arbres à feuilles si et seulement s'il comporte au plus huit conifères, c'est-à-dire si $X\leqslant 8$ . On passe à l'événement contraire : $\begin{aligned} P(X\leqslant 8) &= 1-P(X=9)-P(X=10)\\ &\approx 1-0{,}0144-0{,}0016 \end{aligned}$

\boxed{P(X\leqslant 8)\approx 0{,}984}

3. (a) L'événement contraire de $A_n$ est « aucun des $n$ arbres n'est un conifère », c'est-à-dire $n$ échecs consécutifs, chacun de probabilité $1-0{,}525=0{,}475$ : $\boxed{P\left(A_n\right)=1-0{,}475^{\,n}}$

(b) On cherche le plus petit entier $n$ tel que $0{,}475^{\,n}\leqslant 0{,}0001$ . La calculatrice donne $0{,}475^{12}\approx 1{,}3\times 10^{-4}$ et $0{,}475^{13}\approx 6{,}3\times 10^{-5}$ : $\boxed{n=13\text{ arbres}}$

(c) On résout $E\left(Y_n\right)\geqslant 100$ , avec $E\left(Y_n\right)=0{,}525\,n$ : $0{,}525\,n\geqslant 100 \iff n\geqslant 190{,}47\ldots \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{n=191\text{ arbres}}$

Énoncé PDF, p. 9 Corrigé PDF, p. 18 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition

Thèmes

arbre pondéré, probabilité conditionnelle, indépendance, espérance, épreuve de bernoulli, schéma de bernoulli, coefficient binomial, loi binomiale

Notions

espace probabilisé, indépendance, espérance, loi (d'une variable aléatoire)