Exercice 30 Type Bac

1. (a) D'après l'énoncé, $P_{A_n}\left(A_{n+1}\right)=0{,}9$ et $P_{\overline{A_n}}\left(\overline{A_{n+1}}\right)=0{,}6$, donc $P_{\overline{A_n}}\left(A_{n+1}\right)=0{,}4$. Comme $p_1=1$, on obtient :

(b) Les événements $A_2$ et $\overline{A_2}$ formant une partition de l'univers : $$p_3=0{,}9\times 0{,}9+0{,}1\times 0{,}4=0{,}81+0{,}04 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{p_3=0{,}85}$$

(c) On applique la définition d'une probabilité conditionnelle : $$P_{A_3}\left(A_2\right)=\frac{P\left(A_2\cap A_3\right)}{P\left(A_3\right)} =\frac{0{,}9\times 0{,}9}{0{,}85}=\frac{0{,}81}{0{,}85} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{P_{A_3}\left(A_2\right)\approx 0{,}95}$$

2. Pour tout $n\geqslant 1$, les événements $A_n$ et $\overline{A_n}$ forment une partition de l'univers. La formule des probabilités totales donne alors : $$\begin{aligned} p_{n+1} &= P\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+P\left(\overline{A_n}\cap A_{n+1}\right)\\ &= 0{,}9\,p_n+0{,}4\left(1-p_n\right)\\ &= 0{,}9\,p_n+0{,}4-0{,}4\,p_n \end{aligned}$$

3. (a) Démontrons par récurrence la propriété $P_n$ : « $p_n>0{,}8$ ».

Initialisation : $p_1=1>0{,}8$, donc $P_1$ est vraie.

Hérédité : soit $k\geqslant 1$. Supposons $p_k>0{,}8$. En multipliant par $0{,}5>0$ puis en ajoutant $0{,}4$ : $$p_k>0{,}8 \implies 0{,}5\,p_k>0{,}4 \implies 0{,}5\,p_k+0{,}4>0{,}8$$ autrement dit $p_{k+1}>0{,}8$, ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : par principe de récurrence, $\boxed{\forall n\geqslant 1,\; p_n>0{,}8}$

(b) Pour tout $n\geqslant 1$ : $$p_{n+1}-p_n=0{,}5\,p_n+0{,}4-p_n=0{,}4-0{,}5\,p_n=0{,}5\left(0{,}8-p_n\right)$$ Or $p_n>0{,}8$ d'après la question précédente, donc $0{,}8-p_n<0$ : $$\boxed{\text{la suite }\left(p_n\right)\text{ est décroissante}}$$

(c) La suite $\left(p_n\right)$ est décroissante et minorée par $0{,}8$ : d'après le théorème de convergence monotone, $\boxed{\left(p_n\right)\text{ converge}}$

4. (a) Pour tout $n\geqslant 1$ : $$\begin{aligned} v_{n+1} &= p_{n+1}-0{,}8=0{,}5\,p_n+0{,}4-0{,}8\\ &= 0{,}5\,p_n-0{,}4=0{,}5\left(p_n-0{,}8\right)=0{,}5\,v_n \end{aligned}$$

(b) On en déduit $v_n=0{,}2\times 0{,}5^{\,n-1}$. En remarquant que $0{,}2\times 0{,}5^{\,n-1}=0{,}4\times 0{,}5^{\,n}$, et comme $p_n=v_n+0{,}8$ : $$\boxed{v_n=\frac{2}{5}\times 0{,}5^{\,n}\qquad\text{et}\qquad p_n=0{,}8+\frac{2}{5}\times 0{,}5^{\,n}}$$

(c) Comme $-1<0{,}5<1$, on a $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}0{,}5^{\,n}=0$, d'où : $$\boxed{\lim_{n\to+\infty}p_n=0{,}8}$$ À long terme, la probabilité qu'un client achète un melon une semaine donnée se stabilise autour de $0{,}8$ : le détaillant peut estimer que $80\,\%$ de ses clients achèteront un melon chaque semaine.