ExerciceTerminale, chapitre 2 — Probabilités · Exercices de synthèse

Exercice 31

Calcul

Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ dont on ignore les paramètres. On sait seulement que : $E(X)=6 \qquad\text{et}\qquad V(X)=4{,}2$

1. Exprimer $E(X)$ et $V(X)$ en fonction de $n$ et $p$ .

2. En formant le quotient $\dfrac{V(X)}{E(X)}$ , déterminer la valeur de $p$ .

3. En déduire la valeur de $n$ .

4. Calculer alors $P(X=6)$ , arrondie à $10^{-3}$ .

Corrigé

1. D'après la proposition 6 du cours : $\boxed{E(X)=np \qquad\text{et}\qquad V(X)=np(1-p)}$

2. On forme le quotient, ce qui fait disparaître $n$ : $\frac{V(X)}{E(X)}=\frac{np(1-p)}{np}=1-p$ Or ce quotient vaut $\dfrac{4{,}2}{6}=0{,}7$ , donc $1-p=0{,}7$ : $\boxed{p=0{,}3}$

3. On reporte dans $E(X)=np=6$ : $0{,}3\,n=6 \iff n=\frac{6}{0{,}3} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{n=20}$

4. La variable $X$ suit donc la loi $\mathcal{B}(20\,;0{,}3)$ : $P(X=6)=\begin{pmatrix}20\\6\end{pmatrix}\times 0{,}3^6\times 0{,}7^{14}=38\,760\times 0{,}3^6\times 0{,}7^{14}$

\boxed{P(X=6)\approx 0{,}192}

Énoncé PDF, p. 10 Corrigé PDF, p. 21 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités

Thèmes

variable aléatoire, espérance, variance, coefficient binomial, loi binomiale

Notions

variable aléatoire, espérance, loi (d'une variable aléatoire)