Exercice 32

1. Les $4$ lancers sont identiques et indépendants, de succès « obtenir un $6$ » et de probabilité $\dfrac{1}{6}$. En notant $X$ le nombre de $6$ obtenus, on a $X\sim\mathcal{B}\left(4\,;\frac{1}{6}\right)$, et $A$ est l'événement $(X\geqslant 1)$ : $$P(A)=1-P(X=0)=1-\left(\frac{5}{6}\right)^4 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{P(A)\approx 0{,}5177}$$

2. Les deux dés étant indépendants, la probabilité que tous deux donnent un $6$ vaut : $$\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}=\boxed{\frac{1}{36}}$$

3. De même, en notant $Y$ le nombre de double $6$ obtenus, on a $Y\sim\mathcal{B}\left(24\,;\frac{1}{36}\right)$ : $$P(B)=1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{P(B)\approx 0{,}4914}$$

4. Les deux probabilités sont proches, mais $P(A)>0{,}5>P(B)$ : $$\boxed{\text{le chevalier de Méré avait tort}}$$ Le premier pari est légèrement gagnant, le second légèrement perdant. L'écart, de l'ordre de $3$ points, n'est décelable qu'après un très grand nombre de parties : c'est précisément ce que l'expérience du joueur avait fini par révéler, sans qu'il puisse l'expliquer.