Exercice 33

1. On écrit les deux probabilités à l'aide de la formule du cours, puis on simplifie le quotient : $$\begin{aligned} \frac{P(X=k+1)}{P(X=k)} &= \frac{\begin{pmatrix}n\\k+1\end{pmatrix}p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^{k}(1-p)^{n-k}}\\ &= \frac{\begin{pmatrix}n\\k+1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}\times\frac{p}{1-p} \end{aligned}$$ Or, d'après la formule explicite : $$\frac{\begin{pmatrix}n\\k+1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}=\frac{n!}{(k+1)!\,(n-k-1)!}\times\frac{k!\,(n-k)!}{n!} =\frac{k!}{(k+1)!}\times\frac{(n-k)!}{(n-k-1)!}=\frac{n-k}{k+1}$$

2. Comme $P(X=k)>0$, l'inégalité $P(X=k+1)\geqslant P(X=k)$ équivaut à ce que le quotient précédent soit supérieur ou égal à $1$. Les quantités $k+1$ et $1-p$ étant strictement positives, on peut multiplier sans changer le sens : $$\begin{aligned} \frac{n-k}{k+1}\times\frac{p}{1-p}\geqslant 1 &\iff (n-k)p\geqslant (k+1)(1-p)\\ &\iff np-kp\geqslant k+1-kp-p\\ &\iff np\geqslant k+1-p \end{aligned}$$

3. Pour $n=10$ et $p=0{,}4$ : $np-(1-p)=4-0{,}6=3{,}4$. Les probabilités augmentent donc tant que $k\leqslant 3{,}4$, c'est-à-dire jusqu'à $k=3$, puis diminuent ensuite : $$P(X=0)\leqslant\cdots\leqslant P(X=3)\leqslant P(X=4)>P(X=5)>\cdots$$

4. La calculatrice confirme ce résultat :

Le maximum est bien atteint en $k=4$, alors que $E(X)=4$ également ici.