Exercice 34

1. On applique la formule explicite au membre de gauche, en écrivant $n!=n\times(n-1)!$ et $k!=k\times(k-1)!$ : $$\begin{aligned} k\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} &= k\times\frac{n!}{k!\,(n-k)!} = \frac{k\times n\times(n-1)!}{k\times(k-1)!\,(n-k)!}\\ &= n\times\frac{(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k)!} \end{aligned}$$ Or $n-k=(n-1)-(k-1)$, donc le second facteur est exactement $\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}$ : $$\boxed{k\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=n\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}}$$

2. La variable $X$ prend les valeurs $0$, $1$, …, $n$ avec $P(X=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$. Par définition de l'espérance : $$E(X)=\sum_{k=0}^{n}k\,P(X=k)=\sum_{k=0}^{n}k\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$$ Le terme correspondant à $k=0$ contient le facteur $k=0$ : il est donc nul, et la somme peut commencer à $k=1$.

3. En remplaçant $k\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ par $n\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}$ d'après la question 1., puis en factorisant par $np$ (en écrivant $p^k=p\times p^{k-1}$) : $$\begin{aligned} E(X) &= \sum_{k=1}^{n}n\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}\\ &= np\sum_{k=1}^{n}\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}p^{k-1}(1-p)^{n-k} \end{aligned}$$

4. En posant $j=k-1$, la somme précédente s'écrit : $$\sum_{j=0}^{n-1}\begin{pmatrix}n-1\\j\end{pmatrix}p^{j}(1-p)^{(n-1)-j}$$ On y reconnaît la somme de toutes les probabilités d'une variable suivant la loi $\mathcal{B}(n-1\,;p)$, qui vaut donc $1$. On en déduit : $$\boxed{E(X)=np}$$