Exercice 23

1. Le stock étant très important, les $n$ prélèvements sont assimilables à des épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de succès « la pièce est défectueuse » : $$\boxed{X_n\sim\mathcal{B}(n\,;0{,}02)}$$

2. Aucune pièce défectueuse signifie $n$ échecs consécutifs : $$P\left(X_n=0\right)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\times 0{,}02^0\times 0{,}98^{\,n} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{P\left(X_n=0\right)=0{,}98^{\,n}}$$

3. En passant à l'événement contraire : $$\boxed{P\left(X_n\geqslant 1\right)=1-0{,}98^{\,n}}$$

4. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $1-0{,}98^{\,n}\geqslant 0{,}95$, c'est-à-dire tel que $0{,}98^{\,n}\leqslant 0{,}05$. À l'aide d'un tableau de valeurs : $$0{,}98^{148}\approx 0{,}0503>0{,}05 \qquad\text{et}\qquad 0{,}98^{149}\approx 0{,}0493<0{,}05$$

5. À partir de $149$ pièces prélevées, on est sûr à $95\,\%$ d'en trouver au moins une défectueuse. Autrement dit, sur un prélèvement plus petit, il est fréquent de ne détecter aucun défaut alors que la production en contient bel et bien $2\,\%$.