Exercice 22

1. Le candidat répond au hasard à $20$ questions indépendantes. Chaque question constitue une épreuve de Bernoulli, de succès « la réponse est correcte », de probabilité $\dfrac{1}{4}=0{,}25$ puisqu'une seule des quatre réponses convient. Ces épreuves étant identiques et indépendantes : $$\boxed{X\sim\mathcal{B}(20\,;0{,}25)}$$

2. On applique la formule du cours : $$P(X=5)=\begin{pmatrix}20\\5\end{pmatrix}\times 0{,}25^5\times 0{,}75^{15}=15\,504\times 0{,}25^5\times 0{,}75^{15}$$

3. Avec binomFRep(20 ;0.25 ;3) : $$\boxed{P(X\leqslant 3)\approx 0{,}225}$$

4. L'événement $(X\geqslant 10)$ est le contraire de $(X\leqslant 9)$ : $$P(X\geqslant 10)=1-P(X\leqslant 9) \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{P(X\geqslant 10)\approx 0{,}014}$$ Un candidat répondant totalement au hasard n'a donc qu'environ $1{,}4\,\%$ de chances d'obtenir la moyenne : le hasard ne remplace pas les révisions.

5. On ramène l'encadrement à des probabilités cumulées, en prenant garde au décalage : $$P(5\leqslant X\leqslant 8)=P(X\leqslant 8)-P(X\leqslant 4)$$

6. L'espérance donne le nombre moyen de bonnes réponses : $$E(X)=20\times 0{,}25=\boxed{5\text{ bonnes réponses}}$$