Exercice 41

1. Avec deux dés équilibrés, les $36$ couples de résultats sont équiprobables. La somme $2$ n'est obtenue que par $(1\,;1)$, la somme $12$ que par $(6\,;6)$, tandis que la somme $7$ l'est par les six couples $(1\,;6)$, $(2\,;5)$, $(3\,;4)$, $(4\,;3)$, $(5\,;2)$ et $(6\,;1)$ : $$\boxed{P(S=2)=\frac{1}{36} \qquad P(S=7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6} \qquad P(S=12)=\frac{1}{36}}$$ La loi n'est pas uniforme, puisque chacune des $11$ valeurs aurait alors pour probabilité $\dfrac{1}{11}$.

2. La somme vaut $2$ si et seulement si les deux dés donnent $1$, et $12$ si et seulement si ils donnent $6$. Les lancers étant indépendants : $$\boxed{P(S=2)=p_1q_1 \qquad P(S=12)=p_6q_6}$$

3. L'événement $(S=7)$ est la réunion des six événements incompatibles « le premier dé donne $i$ et le second $7-i$ », pour $1\leqslant i\leqslant 6$ : $$P(S=7)=p_1q_6+p_2q_5+p_3q_4+p_4q_3+p_5q_2+p_6q_1$$ Les quatre termes centraux étant des produits de probabilités, ils sont positifs, et on peut les supprimer : $$\boxed{P(S=7)\geqslant p_1q_6+p_6q_1}$$

4. Pour $x$ et $y$ positifs, $\sqrt{x}$ et $\sqrt{y}$ existent, et un carré est positif : $$x+y-2\sqrt{xy}=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\geqslant 0 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{x+y\geqslant 2\sqrt{xy}}$$

5. On applique la question 4 à $x=p_1q_6$ et $y=p_6q_1$, puis l'on regroupe les facteurs : $$P(S=7)\geqslant p_1q_6+p_6q_1\geqslant 2\sqrt{p_1q_6\,p_6q_1}=2\sqrt{p_1q_1\times p_6q_6}$$

$$\boxed{P(S=7)\geqslant 2\sqrt{P(S=2)\times P(S=12)}}$$ Si $S$ suivait la loi uniforme sur les $11$ valeurs de $\{2\,;\dots\,;12\}$, ces trois probabilités vaudraient $\dfrac{1}{11}$, et l'inégalité deviendrait $\dfrac{1}{11}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{1}{121}} =\dfrac{2}{11}$, ce qui est faux. $$\boxed{\text{Aucun trucage des deux dés ne rend la somme uniforme.}}$$

Remarque. L'argument ne compare que trois valeurs de la somme : les deux valeurs extrêmes, qui ne s'obtiennent que d'une seule façon, et la valeur centrale, qui s'obtient de six façons. C'est cette dissymétrie entre le nombre de façons d'obtenir chaque somme, et non les valeurs particulières des probabilités, qui interdit l'uniformité.