ExerciceTerminale, chapitre 6 — Calcul intégral · Primitives d'une fonction

Exercice 2

Calcul

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur $\mathbb{R}$ .

a) $f(x)=4x^{3}-6x+5$

b) $f(x)=5$

c) $f(x)=x^{5}-\dfrac{x^{2}}{3}+2$

d) $f(x)=(2x-3)(x+1)$

e) $f(x)=(x-1)^{2}$

f) $f(x)=x\left(3x^{2}-4\right)$

Pour d), e) et f), on commencera par développer : le tableau des primitives ne s'applique qu'à une somme de termes de la forme $x^{n}$ .

Corrigé

On applique le tableau terme à terme : une primitive de $x^{n}$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ .

a) $\boxed{F(x)=x^{4}-3x^{2}+5x}$

b) $\boxed{F(x)=5x}$

c) $\boxed{F(x)=\dfrac{x^{6}}{6}-\dfrac{x^{3}}{9}+2x}$

d) $f(x)=2x^{2}-x-3$ , donc : $\boxed{F(x)=\dfrac{2x^{3}}{3}-\dfrac{x^{2}}{2}-3x}$

e) $f(x)=x^{2}-2x+1$ , donc : $\boxed{F(x)=\dfrac{x^{3}}{3}-x^{2}+x}$

f) $f(x)=3x^{3}-4x$ , donc : $\boxed{F(x)=\dfrac{3x^{4}}{4}-2x^{2}}$

On remarquera pour c) que $\dfrac{1}{3}\times\dfrac{x^{3}}{3}=\dfrac{x^{3}}{9}$ : le coefficient $\dfrac{1}{3}$ se conserve, et se multiplie au $\dfrac{1}{3}$ venant de l'exposant. Chacune de ces réponses peut bien sûr être augmentée d'une constante.

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