Feuille d'exercicesTerminale, chapitre 6

Calcul intégral

50 exercices corrigés · 13   23   10   4

Primitives d'une fonction

• Exercice 1 Dans chaque cas, vérifier si la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle I indiqué. L'une des six affirmations est fausse: on…
• Exercice 2 Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur ℝ. a) f(x)=4x^3-6x+5 b) f(x)=5 c) f(x)=x^5- (x^2)/3 +2 d) f(x)=(2x-3)(x+1) e)…
• Exercice 3 Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur ]0;+∞ [. a) f(x)= 1/(x^2) b) f(x)= 1/(√x) c) f(x)= e^x d) f(x)= 1/x e) f(x)=3 e^x-…
• Exercice 4 Chacune des fonctions suivantes est de la forme u' u^n, éventuellement à un facteur constant près. Déterminer une primitive sur ℝ. a) f(x)=2x…
• Exercice 5 Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes, sur un intervalle où elle est définie que l'on précisera. On reconnaîtra une forme…
• Exercice 6 Même consigne, en reconnaissant cette fois une forme u' e^u ou u'/u. a) f(x)=2x e^x^2 b) f(x)= e^3x c) f(x)= e^(-x) d) f(x)= (2x+1)/(x^2+x+5) e)…
• Exercice 7 Cette fois la forme n'est pas annoncée: à chacun de la reconnaître. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur un intervalle…
• Exercice 8 Dans chaque cas, déterminer la primitive F de f sur I vérifiant la condition indiquée. 1. f(x)=2x-3 sur ℝ, avec F(1)=4. 2. f(x)=3x^2+1 sur ℝ, avec…
• Exercice 9 Même consigne, avec des formes composées. 1. f(x)=2x e^x^2 sur ℝ, avec F(0)=1. 2. f(x)= (2x+2)/(x^2+2x+2) sur ℝ, avec F(0)=ln (2). 3. f(x)= e^(-2x)…
• Exercice 10 On a représenté ci-dessous, dans deux repères distincts, la courbe C_f d'une fonction f définie sur ℝ (à gauche), puis trois courbes C_1, C_2 et C_3…

Intégrale d'une fonction continue sur un segment

• Exercice 11 On cherche à encadrer l'aire A, en unités d'aire, du domaine situé sous la courbe de la fonction carré entre 0 et 1. On découpe pour cela [0;1] en…
• Exercice 12 Ci-dessous est représentée, sur un quadrillage d'unité 1, la courbe C_f d'une fonction f continue et positive sur [0;4]. 1. Combien de carreaux…
• Exercice 13 Les intégrales suivantes se calculent sans primitive, en reconnaissant une aire élémentaire. Dans chaque cas, faire une figure et conclure. a)…
• Exercice 14 La courbe ci-dessous est celle d'une fonction f continue et positive sur [0;5]. On sait que le domaine situé sous la courbe entre 0 et 2 a une aire…
• Exercice 15 1. On pose, pour tout réel x≥ 1, Phi (x)= ∫_1^x (t^2+1) dt. (a) Justifier que Phi est dérivable et déterminer Phi '(x). (b) Que vaut Phi (1) ? En…
• Exercice 16 Calculer les intégrales suivantes. a) ∫_0^2 (3x^2-2x+1) dx b) ∫_1^3(2x-5) dx c) ∫_(-1)^1 (x^3+x) dx d) ∫_1^4 1/(√x) dx e) ∫_1^2 1/(x^2) dx f) ∫_0^1…
• Exercice 17 Calculer les intégrales suivantes, en reconnaissant au préalable une forme composée. a) ∫_0^12x e^x^2 dx b) ∫_0^1 x/(x^2+1) dx c) ∫_0^1(2x+1)…
• Exercice 18 1. Déterminer le réel a>0 tel que ∫_0^a(2x+1) dx=6. 2. Déterminer le réel a>1 tel que ∫_1^a 1/x dx=2. 3. Déterminer le réel m tel que ∫_0^1 (x^2+m)…

Propriétés de l'intégrale

• Exercice 19 On donne ∫_0^2f(x) dx=5 et ∫_0^2g(x) dx=-3, où f et g sont deux fonctions continues sur [0;2]. 1. Calculer, sans connaître f ni g: (a) ∫_0^2…
• Exercice 20 1. Soit f continue sur [0;3] telle que ∫_0^3f(x) dx=7 et ∫_0^1f(x) dx=2. Déterminer ∫_1^3f(x) dx, puis ∫_3^1f(x) dx. 2. Soit g continue sur [-2;5]…
• Exercice 21 Déterminer le signe de chacune des intégrales suivantes sans la calculer, en justifiant. a) ∫_1^2x^3 dx b) ∫_(-2)^(-1)x^3 dx c) ∫_0^1 e^(-x) dx d)…
• Exercice 22 1. Comparer ∫_0^1x^2 dx et ∫_0^1x^3 dx sans les calculer, puis vérifier par le calcul. 2. Reprendre la question précédente sur l'intervalle [1;2].…
• Exercice 23 1. Soit f(x)= 1/(1+x) sur [0;2]. (a) Justifier que f est décroissante sur [0;2] et en déduire un encadrement de f(x). (b) En déduire un encadrement…
• Exercice 24 1. Dans chaque cas, déterminer laquelle des deux courbes est au-dessus de l'autre sur l'intervalle indiqué, puis calculer l'aire du domaine compris…
• Exercice 25 Calculer la valeur moyenne de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué. a) f(x)=x^2 sur [0;2] b) f(x)=2x+1 sur [1;4] c) f(x)= e^x…
• Exercice 26 Un mobile démarre à l'instant t=0 et sa vitesse, exprimée en mètres par seconde, est donnée pour t∈[0;10] (en secondes) par: v(t)=20-20 e^- t/2 1.…

Intégration par parties

• Exercice 27 Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une intégration par parties. On dressera à chaque fois le tableau des quatre fonctions u, u', v et v'.…
• Exercice 28 1. Calculer ∫_1^3ln (x) dx. On écrira ln (x)=1×ln (x). 2. En déduire une primitive de la fonction ln sur ]0;+∞ [. 3. Calculer ∫_1^e (ln (x))/(x^2)…
• Exercice 29 Partie A. 1. Calculer ∫_0^1x e^x dx. 2. En déduire, à l'aide d'une seconde intégration par parties, la valeur de ∫_0^1x^2 e^x dx. Partie B. On pose,…

Exercices de synthèse

• Exercice 30 · QCM Pour chaque question, une seule réponse est exacte. La justifier.
• Exercice 31 · Vrai ou faux Chacune des affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse: par une démonstration si l'affirmation est vraie, par un…
• Exercice 32 · Type Bac On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x)=(2-x) e^x, ainsi qu'une primitive F de f sur ℝ. Les deux courbes tracées ci-dessous, notées C_1 et…
• Exercice 33 · Type Bac La courbe ci-dessous, tracée sur un quadrillage d'unité 1, est celle d'une fonction f continue, positive et décroissante sur [0;4]. Partie A:…
• Exercice 34 · Type Bac Dans un repère orthonormé, on note C la courbe de la fonction ln et D la droite d'équation y=x-1. On s'intéresse au domaine compris entre C et D…
• Exercice 35 · Type Bac On considère la fonction f définie sur [0;+∞[ par f(x)=(x+1) e^(-x). Partie A: étude de f. 1. Calculer f'(x) et en déduire les variations de f sur…
• Exercice 36 · Approcher une aire par deux suites adjacentes On rappelle que deux suites (u_n) et (v_n) sont dites adjacentes lorsque l'une est croissante, l'autre décroissante, et que lim _(n→+∞)(v_n-u_n)=0.…
• Exercice 37 · Encadrement de la série harmonique Pour tout entier n≥ 1, on pose: H_n=Σ_(k=1)^n 1/k =1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/n 1. Calculer les valeurs exactes de H_1, H_2, H_3 et H_4. 2. Soit k un entier…
• Exercice 38 · Rectangles, milieux et trapèzes On cherche à approcher I=∫_1^2 1/x dx en partageant [1;2] en n=4 intervalles de même longueur h=0,25. On note x_0=1, x_1=1,25, x_2=1,5, x_3=1,75 et…
• Exercice 39 · La méthode de Monte-Carlo On considère la fonction f définie sur [0;1] par f(x)=√(1-x^2), et l'on note D le domaine situé sous sa courbe, au-dessus de l'axe des abscisses. 1.…
• Exercice 40 · L'algorithme de Brouncker pour $\ln(2)$ Au milieu du XVIIᵉ siècle, William Brouncker propose une écriture de ln (2) comme somme d'une infinité de termes. On se propose de la retrouver.…

Pour aller plus loin

• Exercice 41 Soit f une fonction continue sur [1;+∞[ telle que, pour tout réel t≥ 1, f(t)≥ 1/t. Montrer que lim _(x→+∞)∫_1^xf(t) dt=+∞
• Exercice 42 Soit f une fonction continue sur [0;1]. Pour tout entier naturel n, on pose I_n=∫_0^1f(t) t^n dt 1. On suppose dans cette question que f est à…
• Exercice 43 Soient f une fonction continue sur [0;+∞[, et G la fonction définie sur [0;+∞[ par G(0)=f(0) et pour tout x>0, G(x)= 1/x ∫_0^xf(t) dt 1. Montrer que…
• Exercice 44 1. Soient f une fonction continue sur un intervalle I, u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle J et à valeurs dans I. Calculer la dérivée…
• Exercice 45 La constante d'Euler. On reprend les notations de l'exercice 37, où H_n=1+ 1/2 +…+ 1/n. Montrer que la suite (H_n-ln (n))_(n≥ 1) est décroissante.…
• Exercice 46 Soit α un réel strictement positif. On utilise les fonctions puissances x↦ x^α de l'exercice 31 du chapitre 5. On pose, pour tout entier n≥ 1:…
• Exercice 47 Pour tout réel x≠ 0, on pose f(x)=∫_x^2x (e^t)/t dt 1. Étudier les variations de f sur chacun des deux intervalles ]0;+∞[ et ]-∞;0[. 2. Montrer que,…
• Exercice 48 Soit α un réel strictement positif. Comme à l'exercice 46, on utilise les fonctions puissances de l'exercice 31 du chapitre 5. On pose, pour tout…
• Exercice 49 L'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales. Soient a et b deux réels tels que a<b, f et g deux fonctions continues sur [a;b]. On se propose…
• Exercice 50 L'inégalité de Tchebychev. Soient f et g deux fonctions continues et croissantes sur [0;1]. 1. Pour x et y dans [0;1], quel est le signe de…