Exercice 42

1. Pour $t\in[0\,;1]$, on a $f(t)\geqslant 0$ et $t^{n}\geqslant 0$ : la fonction intégrée est positive, et les bornes sont dans le bon ordre. $$\boxed{I_{n}\geqslant 0}$$ Par linéarité, $I_{n+1}-I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\,t^{n}(t-1)\,\mathrm{d}t$. Sur $[0\,;1]$, $f(t)\,t^{n}\geqslant 0$ et $t-1\leqslant 0$ : cette intégrale est négative. $$\boxed{\text{La suite } (I_{n}) \text{ est décroissante.}}$$

2. Pour $t\in[0\,;1]$, on a $t^{n}\geqslant 0$, donc, en multipliant l'encadrement $-M\leqslant f(t)\leqslant M$ par $t^{n}$ : $$-M\,t^{n}\leqslant f(t)\,t^{n}\leqslant M\,t^{n}$$ En intégrant sur $[0\,;1]$, et puisque $\displaystyle\int_{0}^{1}t^{n}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{n+1}$ : $$-\frac{M}{n+1}\leqslant I_{n}\leqslant\frac{M}{n+1} \qquad\text{soit}\qquad\boxed{|I_{n}|\leqslant\frac{M}{n+1}}$$ Les deux bornes tendent vers $0$ : d'après le théorème des gendarmes, $\boxed{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_{n}=0}$.

Remarque. C'est la généralisation de l'exercice 29, où $f(t)=\mathrm{e}^{t}$ et $M=\mathrm{e}$. L'erreur la plus répandue est de raisonner ainsi : « $t^{n}$ tend vers $0$, donc l'intégrale tend vers $0$ ». Ce n'est pas une preuve, et d'ailleurs $t^{n}$ ne tend pas vers $0$ en $t=1$ : on ne peut pas faire entrer une limite sous le signe intégrale sans justification, et c'est l'encadrement qui la fournit.