Exercice 43

Notons $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$. D'après le cours, $F$ est la primitive de $f$ sur $[0\,;+\infty[$ qui s'annule en $0$ : elle est dérivable, de dérivée $f$.

1. Sur $]0\,;+\infty[$, $G(x)=\dfrac{F(x)}{x}$ est un quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas, donc $G$ est dérivable et $$G'(x)=\frac{x\,f(x)-F(x)}{x^{2}}=\boxed{\frac{f(x)-G(x)}{x}}$$

2. Pour $x>0$, comme $F(0)=0$ : $$G(x)=\frac{F(x)-F(0)}{x-0}$$ C'est le taux d'accroissement de $F$ entre $0$ et $x$. La fonction $F$ étant dérivable en $0$, il tend vers $F'(0)=f(0)=G(0)$ quand $x$ tend vers $0$. $$\boxed{\lim_{x\to 0^{+}}G(x)=G(0) \text{ : } G \text{ est continue en } 0.}$$

Interprétation. Pour $x>0$, $G(x)$ est la valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;x]$ (exercice 25). La question 2 dit que la moyenne de $f$ sur un intervalle de plus en plus court tend vers la valeur de $f$ au point de départ, ce qui justifie la définition $G(0)=f(0)$.

Remarque. La formule de la question 1 a une conséquence parlante. Si $f$ est croissante, alors $f(t)\leqslant f(x)$ pour $t\in[0\,;x]$, donc la moyenne $G(x)$ est inférieure à $f(x)$, et $G'(x)\geqslant 0$ : la moyenne d'une fonction croissante sur $[0\,;x]$ croît avec $x$, ce que l'intuition suggérait.