Exercice 46

D'après l'exercice 31 du chapitre 5, la fonction $t\mapsto t^{\alpha+1}$ a pour dérivée $t\mapsto(\alpha+1)\,t^{\alpha}$ sur $]0\,;+\infty[$ : une primitive de $t\mapsto t^{\alpha}$ est donc $t\mapsto\frac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1}$. De plus, comme $\alpha>0$, la fonction $t\mapsto t^{\alpha}$ est croissante.

Majoration. Pour $k\geqslant 1$ et $t\in[k\,;k+1]$, on a $k^{\alpha}\leqslant t^{\alpha}$, et l'intégration sur cet intervalle de longueur $1$ donne $k^{\alpha}\leqslant\int_{k}^{k+1}t^{\alpha}\,\mathrm{d}t$. En sommant pour $k$ de $1$ à $n$, les intégrales se mettent bout à bout (relation de Chasles) : $$S_{n}\leqslant\int_{1}^{n+1}t^{\alpha}\,\mathrm{d}t=\frac{(n+1)^{\alpha+1}-1}{\alpha+1}$$ Minoration. Pour $k\geqslant 2$ et $t\in[k-1\,;k]$, on a de même $k^{\alpha}\geqslant\int_{k-1}^{k}t^{\alpha}\,\mathrm{d}t$, d'où, en sommant pour $k$ de $2$ à $n$ et en ajoutant le terme $1^{\alpha}=1$ : $$S_{n}\geqslant 1+\int_{1}^{n}t^{\alpha}\,\mathrm{d}t\geqslant\frac{n^{\alpha+1}-1}{\alpha+1}$$ Conclusion. En divisant par $n^{\alpha+1}>0$ : $$\frac{1}{\alpha+1}\left(1-\frac{1}{n^{\alpha+1}}\right)\leqslant\frac{S_{n}}{n^{\alpha+1}} \leqslant\frac{1}{\alpha+1}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\alpha+1}-\frac{1}{n^{\alpha+1}} \right)$$ Comme $\alpha+1>0$, $\frac{1}{n^{\alpha+1}}\to 0$ (exercice 31 du chapitre 5), et $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\alpha+1}=\mathrm{e}^{(\alpha+1)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}\to\mathrm{e}^{0}=1$. Les deux bornes tendent vers $\frac{1}{\alpha+1}$, et le théorème des gendarmes conclut : $$\boxed{\lim_{n\to+\infty}\frac{S_{n}}{n^{\alpha+1}}=\frac{1}{\alpha+1}}$$ Vérification : pour $\alpha=1$, $S_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$ et $\frac{S_{n}}{n^{2}}\to\frac{1}{2}$ ; pour $\alpha=2$, $S_{n}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ et $\frac{S_{n}}{n^{3}}\to\frac{1}{3}$, ce qui confirme le résultat sur deux formules classiques, que l'on démontre par récurrence.

Remarque. On peut écrire $\frac{S_{n}}{n^{\alpha+1}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n}\right)^{\alpha}$ : c'est la somme des aires des rectangles supérieurs pour la fonction $t\mapsto t^{\alpha}$ sur $[0\,;1]$, découpé en $n$ intervalles. Le résultat dit qu'elle tend vers $\int_{0}^{1}t^{\alpha}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{\alpha+1}$, comme la méthode de l'exercice 36 le laissait prévoir.