Exercice 31 Vrai ou faux

1. Vraie. C'est le premier point du théorème 1 du cours : toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives. L'existence est garantie par le théorème fondamental de l'analyse, la fonction $x\mapsto\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$ en étant une.

2. Fausse. Si $F$ est une primitive de $f$, alors $F+1$, $F+2$, … en sont aussi. Une fonction continue admet donc une infinité de primitives. Par exemple, $x\mapsto x^{2}$ et $x\mapsto x^{2}+7$ sont toutes deux des primitives de $x\mapsto 2x$ sur $\mathbb{R}$.

3. Vraie. Posons $H=F-G$. Comme $F'=G'=f$, on a $H'=F'-G'=f-f=0$ sur $I$. Or une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante : $$\boxed{F-G \text{ est constante sur } I}$$

4. Vraie. C'est la propriété de positivité (proposition 4). Démonstration : soit $F$ une primitive de $f$ ; comme $F'=f\geqslant 0$, $F$ est croissante sur $[a\,;b]$, donc $F(a)\leqslant F(b)$, c'est-à-dire $\displaystyle\int_{a}^{b}f=F(b)-F(a)\geqslant 0$.

5. Fausse. La réciproque est fausse : les parties situées au-dessus de l'axe peuvent compenser celles situées en dessous. Contre-exemple avec $f(x)=x$ sur $[-1\,;1]$ : $$\int_{-1}^{1}x\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{1}=0\geqslant 0$$ et pourtant $f$ est strictement négative sur $[-1\,;0[$.

6. Fausse. L'intégrale n'est pas multiplicative. Contre-exemple avec $f=g$ définies par $f(x)=x$ sur $[0\,;1]$ : $$\int_{0}^{1}x^{2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3} \qquad \text{alors que} \qquad \left(\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

7. Vraie. C'est la convention posée en section 6.3.5 du cours. Avec $F$ une primitive de $f$ : $$\int_{b}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x=F(a)-F(b)=-\left(F(b)-F(a)\right) =-\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x$$

8. Vraie. Notons $m$ et $M$ le minimum et le maximum de $f$ sur $[a\,;b]$. L'inégalité de la moyenne donne $m(b-a)\leqslant\displaystyle\int_{a}^{b}f\leqslant M(b-a)$. En divisant par $b-a>0$ : $$\boxed{m\leqslant\mu\leqslant M}$$

9. Vraie. C'est la conservation de l'ordre (proposition 4). La fonction $g-f$ est continue et positive sur $[a\,;b]$, son intégrale est donc positive, et la linéarité permet de conclure.

10. Fausse. Ce serait confondre la valeur moyenne avec la valeur au milieu de l'intervalle. Contre-exemple avec $f(x)=x^{2}$ sur $[0\,;2]$ : $$\int_{0}^{2}x^{2}\,\mathrm{d}x=\frac{8}{3}\approx 2{,}67 \qquad \text{alors que} \qquad 2\,f(1)=2$$