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ExerciceTerminale, chapitre 6 — Calcul intégral · Exercices de synthèse

Exercice 30 QCM

QCMDémonstration

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. La justifier.

Question	Réponse A	Réponse B	Réponse C
1. Une primitive sur $\mathbb{R}$ de $f(x)=3x^{2}$ est :	$6x$	$x^{3}-4$	$\dfrac{x^{3}}{3}$
2. $\displaystyle\int_{0}^{1}2x\,\mathrm{d}x$ vaut :	$1$	$2$	$\dfrac{1}{2}$
3. Une primitive sur $\left]0\,;+\infty\right[$ de $f(x)=\dfrac{1}{x}$ est :	$-\dfrac{1}{x^{2}}$	$\ln(x)$	$\dfrac{1}{2x^{2}}$
4. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ , les primitives de $f$ sur $I$ sont :	$F$ uniquement	$F+k$ , $k\in\mathbb{R}$	$kF$ , $k\in\mathbb{R}$
5. $\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{1}{x^{2}}\,\mathrm{d}x$ vaut :	$\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{1}{2}$	$\ln(2)$
6. Une primitive de $x\mapsto 2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}$ est :	$\mathrm{e}^{x^{2}}$	$x^{2}\mathrm{e}^{x^{2}}$	$2\mathrm{e}^{x^{2}}$
7. Si $\displaystyle\int_{0}^{3}f=5$ et $\displaystyle\int_{0}^{1}f=2$ , alors $\displaystyle\int_{1}^{3}f$ vaut :	$7$	$3$	$-3$
8. Si $f$ est continue sur $[0\,;1]$ et $\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x=0$ , alors :	$f$ est nulle sur $[0\,;1]$	$f$ est positive sur $[0\,;1]$	on ne peut rien conclure sur le signe de $f$
9. La valeur moyenne de $f(x)=x$ sur $[0\,;4]$ est :	$2$	$8$	$4$
10. $\displaystyle\int_{0}^{1}x\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x$ vaut :	$\mathrm{e}$	$1$	$\mathrm{e}-1$

Corrigé

Question	Réponse	Justification
1	B	$\left(x^{3}-4\right)'=3x^{2}$ . La réponse A est la dérivée de $f$ , et $\left(\frac{x^{3}}{3}\right)'=x^{2}\neq 3x^{2}$ .
2	A	$\left[x^{2}\right]_{0}^{1}=1$ .
3	B	C'est la ligne du tableau des primitives : $\ln'(x)=\frac{1}{x}$ sur $\left]0\,;+\infty\right[$ .
4	B	Théorème 1 : deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante additive, non multiplicative.
5	A	$\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{2}=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$ . La réponse B oublie le signe de la borne inférieure.
6	A	Forme $u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=x^{2}$ : la primitive est $\mathrm{e}^{u}$ , sans facteur supplémentaire.
7	B	Chasles : $\int_{1}^{3}f=\int_{0}^{3}f-\int_{0}^{1}f=5-2=3$ .
8	C	Une intégrale nulle signifie seulement que les aires au-dessus et en dessous de l'axe se compensent. Contre-exemple : $f(x)=x-\frac{1}{2}$ sur $[0\,;1]$ .
9	A	$\mu=\frac{1}{4}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4}=\frac{1}{4}\times 8=2$ . La réponse B est l'intégrale, non la moyenne.
10	B	Intégration par parties : $\left[x\mathrm{e}^{x}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{x} =\mathrm{e}-(\mathrm{e}-1)=1$ .

Énoncé PDF, p. 11 Corrigé PDF, p. 22 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Théorème fondamental de l'analyse Propriétés de l'intégrale de Riemann Inégalité et formule de la moyenne

Thèmes

primitive, intégrale, valeur moyenne, exponentielle, logarithme

Notions

intégrable au sens de Riemann, exponentielle, logarithme

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