Exercice 29

Partie A.

1. $$\left\{\begin{array}{l} u(x)=x \\[2mm] u'(x)=1 \end{array}\right. \qquad\qquad \left\{\begin{array}{l} v'(x)=\mathrm{e}^{x} \\[2mm] v(x)=\mathrm{e}^{x} \end{array}\right.$$

2. On recommence avec $u(x)=x^{2}$ : $$\int_{0}^{1}x^{2}\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x=\Big[x^{2}\mathrm{e}^{x}\Big]_{0}^{1} -\int_{0}^{1}2x\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x=\mathrm{e}-2\int_{0}^{1}x\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x =\mathrm{e}-2\times 1=\boxed{\mathrm{e}-2\approx 0{,}718}$$ La première intégration par parties n'a pas suffi : elle a seulement abaissé l'exposant de $2$ à $1$. C'est la question 1 qui achève le calcul.

Partie B.

1. $\displaystyle I_{0}=\int_{0}^{1}x^{0}\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{x}\, \mathrm{d}x=\Big[\mathrm{e}^{x}\Big]_{0}^{1}=\boxed{\mathrm{e}-1\approx 1{,}718}$

2. Soit $n$ un entier naturel. On pose : $$\left\{\begin{array}{l} u(x)=x^{n+1} \\[2mm] u'(x)=(n+1)x^{n} \end{array}\right. \qquad\qquad \left\{\begin{array}{l} v'(x)=\mathrm{e}^{x} \\[2mm] v(x)=\mathrm{e}^{x} \end{array}\right.$$

3. On applique la relation de proche en proche : $$I_{1}=\mathrm{e}-1\times I_{0}=\mathrm{e}-(\mathrm{e}-1)=\boxed{1}$$

$$I_{3}=\mathrm{e}-3\times I_{2}=\mathrm{e}-3(\mathrm{e}-2)=\boxed{6-2\mathrm{e}\approx 0{,}563}$$ On retrouve exactement les deux valeurs de la partie A : $I_{1}=1$ et $I_{2}=\mathrm{e}-2$.

4. Soit $x\in[0\,;1]$. D'une part $x^{n}\geqslant 0$ et $\mathrm{e}^{x}>0$, donc le produit est positif. D'autre part, la fonction exponentielle étant croissante et $x\leqslant 1$ : $\mathrm{e}^{x}\leqslant\mathrm{e}$. En multipliant par $x^{n}\geqslant 0$, ce qui conserve l'ordre : $$\boxed{0\leqslant x^{n}\mathrm{e}^{x}\leqslant\mathrm{e}\,x^{n}}$$

5. On intègre cet encadrement sur $[0\,;1]$, les bornes étant dans le bon ordre : $$0\leqslant I_{n}\leqslant\int_{0}^{1}\mathrm{e}\,x^{n}\,\mathrm{d}x =\mathrm{e}\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1}=\frac{\mathrm{e}}{n+1}$$

$$\boxed{0\leqslant I_{n}\leqslant\frac{\mathrm{e}}{n+1}}$$ Or $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{\mathrm{e}}{n+1}=0$. Le théorème des gendarmes donne alors : $$\boxed{\lim_{n\to+\infty}I_{n}=0}$$

6. $I_{n}$ est l'aire du domaine situé sous la courbe de $x\mapsto x^{n}\mathrm{e}^{x}$ sur $[0\,;1]$. Or sur cet intervalle, $x^{n}$ tend vers $0$ pour tout $x<1$ lorsque $n$ grandit : la courbe s'écrase sur l'axe des abscisses, ne se relevant que sur un voisinage de plus en plus étroit de $1$. $$\boxed{\text{L'aire sous la courbe tend donc vers } 0}$$