Exercice 28

1. En écrivant $\ln(x)=1\times\ln(x)$ : $$\left\{\begin{array}{l} u(x)=\ln(x) \\[2mm] u'(x)=\dfrac{1}{x} \end{array}\right. \qquad\qquad \left\{\begin{array}{l} v'(x)=1 \\[2mm] v(x)=x \end{array}\right.$$

2. Le calcul précédent montre qu'une primitive de $\ln$ est $x\mapsto x\ln(x)-x$. On le vérifie en dérivant : $$\left(x\ln(x)-x\right)'=\ln(x)+x\times\frac{1}{x}-1=\ln(x)$$

$$\boxed{\text{Une primitive de } \ln \text{ sur } \left]0\,;+\infty\right[ \text{ est } x\mapsto x\ln(x)-x}$$ C'est le seul moyen d'obtenir cette primitive : elle ne figure dans aucun tableau.

3. $$\left\{\begin{array}{l} u(x)=\ln(x) \\[2mm] u'(x)=\dfrac{1}{x} \end{array}\right. \qquad\qquad \left\{\begin{array}{l} v'(x)=\dfrac{1}{x^{2}} \\[2mm] v(x)=-\dfrac{1}{x} \end{array}\right.$$

4. $$\left\{\begin{array}{l} u(x)=\ln(x) \\[2mm] u'(x)=\dfrac{1}{x} \end{array}\right. \qquad\qquad \left\{\begin{array}{l} v'(x)=x^{2} \\[2mm] v(x)=\dfrac{x^{3}}{3} \end{array}\right.$$

5. Avec $u(x)=x^{2}$ et $v'(x)=\ln(x)$, il faudrait d'abord trouver une primitive de $\ln$, soit $v(x)=x\ln(x)-x$, puis calculer : $$\Big[x^{2}\left(x\ln(x)-x\right)\Big]_{1}^{\mathrm{e}} -\int_{1}^{\mathrm{e}}2x\left(x\ln(x)-x\right)\mathrm{d}x$$ La nouvelle intégrale fait réapparaître un terme en $x^{2}\ln(x)$ : elle est plus compliquée que celle de départ. $$\boxed{\text{Ce choix est mauvais : on complique au lieu de simplifier}}$$ C'est la règle générale rappelée par le cours : on dérive le facteur qui se simplifie ($\ln$ ou un polynôme), on primitive l'autre.