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ExerciceTerminale, chapitre 6 — Calcul intégral · Intégration par parties

Exercice 27

Calcul

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une intégration par parties. On dressera à chaque fois le tableau des quatre fonctions uu, u′u', vv et v′v'.

a) ∫01x e2x dx\displaystyle\int_{0}^{1}x\,\mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x

b) ∫01(x+1) ex dx\displaystyle\int_{0}^{1}(x+1)\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x

c) ∫01x e−x dx\displaystyle\int_{0}^{1}x\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x

d) ∫12xln⁡(x) dx\displaystyle\int_{1}^{2}x\ln(x)\,\mathrm{d}x

e) ∫01(2x−1) ex dx\displaystyle\int_{0}^{1}(2x-1)\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x

Corrigé

On rappelle la formule : ∫abu(x)v′(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b}u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x=\Big[u(x)v(x)\Big]_{a}^{b} -\int_{a}^{b}u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x.

a) On choisit u(x)=xu(x)=x, qui se simplifie en dérivant. {u(x)=xu′(x)=1{v′(x)=e2xv(x)=e2x2\left\{\begin{array}{l} u(x)=x \\[2mm] u'(x)=1 \end{array}\right. \qquad\qquad \left\{\begin{array}{l} v'(x)=\mathrm{e}^{2x} \\[2mm] v(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{2} \end{array}\right.

∫01x e2x dx=[x e2x2]01−∫01e2x2 dx=e22−[e2x4]01=e22−e24+14=e2+14≈2,097\begin{aligned} \int_{0}^{1}x\,\mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x &= \left[\frac{x\,\mathrm{e}^{2x}}{2}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{e}^{2x}}{2}\,\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{e}^{2}}{2}-\left[\frac{\mathrm{e}^{2x}}{4}\right]_{0}^{1} \\ &= \frac{\mathrm{e}^{2}}{2}-\frac{\mathrm{e}^{2}}{4}+\frac{1}{4}=\boxed{\frac{\mathrm{e}^{2}+1}{4}\approx 2{,}097} \end{aligned}

b) {u(x)=x+1u′(x)=1{v′(x)=exv(x)=ex\left\{\begin{array}{l} u(x)=x+1 \\[2mm] u'(x)=1 \end{array}\right. \qquad\qquad \left\{\begin{array}{l} v'(x)=\mathrm{e}^{x} \\[2mm] v(x)=\mathrm{e}^{x} \end{array}\right.

∫01(x+1)ex dx=[(x+1)ex]01−∫01ex dx=2e−1−(e−1)=e≈2,718\int_{0}^{1}(x+1)\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x=\Big[(x+1)\mathrm{e}^{x}\Big]_{0}^{1} -\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x=2\mathrm{e}-1-(\mathrm{e}-1)=\boxed{\mathrm{e}\approx 2{,}718}

c) {u(x)=xu′(x)=1{v′(x)=e−xv(x)=−e−x\left\{\begin{array}{l} u(x)=x \\[2mm] u'(x)=1 \end{array}\right. \qquad\qquad \left\{\begin{array}{l} v'(x)=\mathrm{e}^{-x} \\[2mm] v(x)=-\mathrm{e}^{-x} \end{array}\right.

∫01x e−x dx=[−xe−x]01+∫01e−x dx=−e−1+(1−e−1)=1−2e≈0,264\int_{0}^{1}x\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x=\Big[-x\mathrm{e}^{-x}\Big]_{0}^{1} +\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x=-\mathrm{e}^{-1}+\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right) =\boxed{1-\frac{2}{\mathrm{e}}\approx 0{,}264} Attention au double signe moins : −∫u′v-\displaystyle\int u'v avec v=−e−xv=-\mathrm{e}^{-x} redonne +∫e−x+\displaystyle\int\mathrm{e}^{-x}.

d) Ici c'est ln⁡\ln qu'il faut dériver : sa dérivée est bien plus simple que lui. {u(x)=ln⁡(x)u′(x)=1x{v′(x)=xv(x)=x22\left\{\begin{array}{l} u(x)=\ln(x) \\[2mm] u'(x)=\dfrac{1}{x} \end{array}\right. \qquad\qquad \left\{\begin{array}{l} v'(x)=x \\[2mm] v(x)=\dfrac{x^{2}}{2} \end{array}\right.

∫12xln⁡(x) dx=[x22ln⁡(x)]12−∫121x×x22 dx=2ln⁡(2)−∫12x2 dx=2ln⁡(2)−[x24]12=2ln⁡(2)−(1−14)=2ln⁡(2)−34≈0,636\begin{aligned} \int_{1}^{2}x\ln(x)\,\mathrm{d}x &= \left[\frac{x^{2}}{2}\ln(x)\right]_{1}^{2}-\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\times\frac{x^{2}}{2} \,\mathrm{d}x = 2\ln(2)-\int_{1}^{2}\frac{x}{2}\,\mathrm{d}x \\ &= 2\ln(2)-\left[\frac{x^{2}}{4}\right]_{1}^{2}=2\ln(2)-\left(1-\frac{1}{4}\right) = \boxed{2\ln(2)-\frac{3}{4}\approx 0{,}636} \end{aligned}

e) {u(x)=2x−1u′(x)=2{v′(x)=exv(x)=ex\left\{\begin{array}{l} u(x)=2x-1 \\[2mm] u'(x)=2 \end{array}\right. \qquad\qquad \left\{\begin{array}{l} v'(x)=\mathrm{e}^{x} \\[2mm] v(x)=\mathrm{e}^{x} \end{array}\right.

∫01(2x−1)ex dx=[(2x−1)ex]01−2∫01ex dx=(e+1)−2(e−1)=3−e≈0,282\int_{0}^{1}(2x-1)\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x=\Big[(2x-1)\mathrm{e}^{x}\Big]_{0}^{1} -2\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x=\left(\mathrm{e}+1\right)-2(\mathrm{e}-1)=\boxed{3-\mathrm{e}\approx 0{,}282}
Énoncé PDF, p. 9Corrigé PDF, p. 19Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Propriétés de l'intégrale de RiemannThéorème fondamental de l'analyse

Thèmes

intégrale, intégration par parties, exponentielle, logarithme

Notions

intégrable au sens de Riemann, exponentielle, logarithme

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