Exercice 26

1. $v(0)=20-20\mathrm{e}^{0}=20-20=\boxed{0 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}$. C'est cohérent avec l'énoncé : le mobile démarre à l'arrêt, sa vitesse initiale est nulle.

2. La fonction $t\mapsto\mathrm{e}^{-\frac{t}{2}}$ est décroissante, donc $-20\mathrm{e}^{-\frac{t}{2}}$ est croissante, et $v$ aussi : $$\boxed{v \text{ est strictement croissante sur } [0\,;10]}$$ Le mobile accélère continûment. On remarque de plus que $\mathrm{e}^{-\frac{t}{2}}$ tend vers $0$ : la vitesse se rapproche de $20$ m$\cdot$s$^{-1}$ sans jamais l'atteindre. C'est une vitesse limite.

3. L'aire d'un rectangle du repère a pour dimensions $1$ seconde par $1$ m$\cdot$s$^{-1}$, soit $1$ mètre. $$\boxed{\text{L'aire sous la courbe s'exprime en mètres : c'est la distance parcourue}}$$

4. Une primitive de $v$ est $V(t)=20t+40\mathrm{e}^{-\frac{t}{2}}$, car la dérivée de $40\mathrm{e}^{-\frac{t}{2}}$ vaut $40\times\left(-\frac{1}{2}\right)\mathrm{e}^{-\frac{t}{2}} =-20\mathrm{e}^{-\frac{t}{2}}$. Donc : $$\begin{aligned} d &= \int_{0}^{10}v(t)\,\mathrm{d}t=\left[20t+40\mathrm{e}^{-\frac{t}{2}}\right]_{0}^{10} \\ &= \left(200+40\mathrm{e}^{-5}\right)-\left(0+40\right) \\ &= \boxed{160+40\mathrm{e}^{-5}\approx 160{,}27 \text{ m}} \end{aligned}$$

5. La valeur moyenne de $v$ sur $[0\,;10]$ est : $$\mu=\frac{1}{10}\int_{0}^{10}v(t)\,\mathrm{d}t=\frac{160+40\mathrm{e}^{-5}}{10} \approx\boxed{16{,}03 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}$$ On retrouve la définition usuelle de la vitesse moyenne : distance parcourue divisée par durée.

6. On calcule $v(10)=20-20\mathrm{e}^{-5}\approx 19{,}87$, donc : $$\frac{v(0)+v(10)}{2}\approx\frac{0+19{,}87}{2}\approx 9{,}93\neq 16{,}03$$

$$\boxed{\text{Non : la valeur moyenne n'est pas la moyenne des valeurs aux bornes}}$$ Ce ne serait le cas que si $v$ était affine. Ici la vitesse croît très vite au début puis stagne près de $20$ : le mobile passe donc la majeure partie du trajet à une vitesse élevée, ce qui tire la moyenne vers le haut.