Exercice 25

On applique la définition $\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x$.

a) $\mu=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{8}{3} =\boxed{\dfrac{4}{3}}$

b) $\mu=\dfrac{1}{3}\left[x^{2}+x\right]_{1}^{4}=\dfrac{1}{3}(20-2)=\boxed{6}$

c) $\mu=\dfrac{1}{1}\left[\mathrm{e}^{x}\right]_{0}^{1}=\boxed{\mathrm{e}-1\approx 1{,}718}$

d) $\mu=\dfrac{1}{\mathrm{e}-1}\left[\ln(x)\right]_{1}^{\mathrm{e}}=\boxed{\dfrac{1}{\mathrm{e}-1}\approx 0{,}582}$

e) $\mu=\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}\right]_{0}^{4} =\dfrac{1}{4}\times\dfrac{16}{3}=\boxed{\dfrac{4}{3}}$

f) $\mu=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{-1}^{1} =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\right)=\boxed{0}$

Pour la dernière question, la valeur moyenne de $x\mapsto x$ sur $[0\,;a]$ vaut : $$\mu=\frac{1}{a}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{a}=\frac{1}{a}\times\frac{a^{2}}{2} =\frac{a}{2}$$ On résout $\dfrac{a}{2}=3$, d'où $\boxed{a=6}$. C'est cohérent : sur $[0\,;6]$, la fonction varie linéairement de $0$ à $6$, sa moyenne est donc le milieu, $3$.