Exercice 24

1. (a) On étudie le signe de $f(x)-g(x)=x+2-x^{2}$, trinôme de racines $-1$ et $2$ et de coefficient dominant négatif : il est donc positif entre ses racines, donc sur $[-1\,;2]$. La courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$. $$\begin{aligned} \mathcal{A} &= \int_{-1}^{2}\left(x+2-x^{2}\right)\mathrm{d}x = \left[\frac{x^{2}}{2}+2x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2} \\ &= \left(2+4-\frac{8}{3}\right)-\left(\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}\right) = \frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\boxed{\frac{9}{2}=4{,}5} \end{aligned}$$

(b) Sur $[0\,;1]$, $x^{3}\leqslant x^{2}$ : la courbe de $f$ est au-dessus. $$\mathcal{A}=\int_{0}^{1}\left(x^{2}-x^{3}\right)\mathrm{d}x =\left[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4} =\boxed{\frac{1}{12}}$$

(c) Sur $[0\,;1]$, $\mathrm{e}^{x}\geqslant\mathrm{e}^{0}=1$ : la courbe de $f$ est au-dessus. $$\mathcal{A}=\int_{0}^{1}\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)\mathrm{d}x =\left[\mathrm{e}^{x}-x\right]_{0}^{1}=(\mathrm{e}-1)-1=\boxed{\mathrm{e}-2\approx 0{,}718}$$

2. La parabole d'équation $y=4-x^{2}$ coupe l'axe des abscisses en $-2$ et $2$, et elle est au-dessus de cet axe entre ces deux valeurs : $$\mathcal{A}=\int_{-2}^{2}\left(4-x^{2}\right)\mathrm{d}x =\left[4x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{2} =\left(8-\frac{8}{3}\right)-\left(-8+\frac{8}{3}\right)=16-\frac{16}{3} =\boxed{\frac{32}{3}\approx 10{,}67}$$

3. (a) $\displaystyle\int_{0}^{2}\left(x^{2}-1\right)\mathrm{d}x =\left[\frac{x^{3}}{3}-x\right]_{0}^{2}=\frac{8}{3}-2=\boxed{\frac{2}{3}}$

(b) La fonction change de signe en $x=1$ : elle est négative sur $[0\,;1]$ et positive sur $[1\,;2]$. L'aire s'obtient donc en découpant et en prenant l'opposé là où $f$ est négative : $$\begin{aligned} \mathcal{A} &= \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)\mathrm{d}x + \int_{1}^{2}\left(x^{2}-1\right)\mathrm{d}x \\ &= \left[x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}+\left[\frac{x^{3}}{3}-x\right]_{1}^{2} = \frac{2}{3}+\left(\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)\right) \\ &= \frac{2}{3}+\frac{4}{3}=\boxed{2} \end{aligned}$$

(c) Les deux résultats diffèrent : $\dfrac{2}{3}$ contre $2$. $$\boxed{\text{L'intégrale compte négativement la partie située sous l'axe des abscisses}}$$ Elle vaut ici $\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}$ : l'aire au-dessus de l'axe moins celle en dessous. L'aire géométrique, elle, additionne les deux. Une intégrale n'est une aire que si la fonction garde un signe constant : c'est le piège le plus fréquent du chapitre.