Exercice 23

1. (a) Pour $x\in[0\,;2]$, $1+x$ est strictement positif et croissant, donc son inverse est décroissant : $f$ est décroissante sur $[0\,;2]$. Elle est donc encadrée par ses valeurs aux bornes : $$f(2)\leqslant f(x)\leqslant f(0) \qquad \text{soit} \qquad \boxed{\frac{1}{3}\leqslant\frac{1}{1+x}\leqslant 1}$$

(b) L'inégalité de la moyenne sur $[0\,;2]$, intervalle de longueur $2$, donne : $$\boxed{\frac{2}{3}\leqslant\int_{0}^{2}\frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x\leqslant 2}$$

(c) Avec $u(x)=1+x>0$ et $u'(x)=1$ : $$\int_{0}^{2}\frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x=\left[\ln(1+x)\right]_{0}^{2}=\ln(3)-\ln(1) =\boxed{\ln(3)\approx 1{,}099}$$ On a bien $\dfrac{2}{3}\approx 0{,}67\leqslant 1{,}099\leqslant 2$.

2. Sur $[1\,;4]$, la fonction racine est croissante, donc $1=\sqrt{1}\leqslant\sqrt{x}\leqslant\sqrt{4}=2$. L'intervalle a pour longueur $3$ : $$\boxed{3\leqslant\int_{1}^{4}\sqrt{x}\,\mathrm{d}x\leqslant 6}$$

3. (a) Sur $[1\,;2]$, de longueur $1$ : $1\leqslant\sqrt{x}\leqslant\sqrt{2}$, d'où $1\leqslant I_{1}\leqslant\sqrt{2}$.

Sur $[2\,;4]$, de longueur $2$ : $\sqrt{2}\leqslant\sqrt{x}\leqslant 2$, d'où $2\sqrt{2}\leqslant I_{2}\leqslant 4$.

La relation de Chasles donne $\displaystyle\int_{1}^{4}\sqrt{x}\,\mathrm{d}x=I_{1}+I_{2}$, d'où en additionnant les deux encadrements : $$1+2\sqrt{2}\leqslant\int_{1}^{4}\sqrt{x}\,\mathrm{d}x\leqslant\sqrt{2}+4$$

(b) L'amplitude est passée de $3$ à environ $1{,}59$ : elle a été divisée par presque $2$ avec un simple découpage en deux morceaux. $$\boxed{\text{Découper l'intervalle améliore nettement l'encadrement}}$$ C'est précisément le principe de la méthode des rectangles : plus le découpage est fin, plus l'encadrement se resserre.

(c) Une primitive de $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ est $\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} =\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}$, donc : $$\int_{1}^{4}\sqrt{x}\,\mathrm{d}x=\left[\frac{2}{3}x\sqrt{x}\right]_{1}^{4} =\frac{2}{3}\times 8-\frac{2}{3}=\frac{16-2}{3}=\boxed{\frac{14}{3}\approx 4{,}667}$$ Cette valeur appartient bien aux deux encadrements, mais le second la localise beaucoup mieux.