Exercice 22

1. Pour tout $x$ de $[0\,;1]$, on a $0\leqslant x\leqslant 1$, donc en multipliant par $x^{2}\geqslant 0$ : $x^{3}\leqslant x^{2}$. La conservation de l'ordre donne alors : $$\boxed{\int_{0}^{1}x^{3}\,\mathrm{d}x\leqslant\int_{0}^{1}x^{2}\,\mathrm{d}x}$$ Vérification : $\displaystyle\int_{0}^{1}x^{3}=\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{4}$ et $\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}=\frac{1}{3}$. On a bien $\dfrac{1}{4}\leqslant\dfrac{1}{3}$.

2. Sur $[1\,;2]$, l'inégalité change de sens : $x\geqslant 1$ donne $x^{3}\geqslant x^{2}$, d'où : $$\boxed{\int_{1}^{2}x^{2}\,\mathrm{d}x\leqslant\int_{1}^{2}x^{3}\,\mathrm{d}x}$$ Vérification : $\displaystyle\int_{1}^{2}x^{2}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} \approx 2{,}33$ et $\displaystyle\int_{1}^{2}x^{3}=4-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}=3{,}75$. On constate que la comparaison de deux fonctions dépend entièrement de l'intervalle considéré : il ne faut jamais l'affirmer sans préciser où.

3. Pour $x\in[0\,;1]$, on a $0\leqslant x^{2}\leqslant x$. La fonction exponentielle étant strictement croissante : $$\mathrm{e}^{0}\leqslant\mathrm{e}^{x^{2}}\leqslant\mathrm{e}^{x} \qquad \text{soit} \qquad 1\leqslant\mathrm{e}^{x^{2}}\leqslant\mathrm{e}^{x}$$ En intégrant sur $[0\,;1]$ (les bornes sont dans le bon ordre) : $$\int_{0}^{1}1\,\mathrm{d}x\leqslant\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{x^{2}}\,\mathrm{d}x \leqslant\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x$$

$$\boxed{1\leqslant\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{x^{2}}\,\mathrm{d}x\leqslant\mathrm{e}-1\approx 1{,}718}$$ On notera qu'aucune primitive de $x\mapsto\mathrm{e}^{x^{2}}$ n'est connue : la comparaison est ici le seul outil disponible.

4. Pour $x\in[1\,;2]$, on a $1\leqslant x\leqslant 2$, donc en passant aux inverses (ce qui renverse l'ordre) : $\dfrac{1}{2}\leqslant\dfrac{1}{x}\leqslant 1$. En intégrant sur $[1\,;2]$, intervalle de longueur $1$ : $$\boxed{\frac{1}{2}\leqslant\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x\leqslant 1}$$ Or $\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\left[\ln(x)\right]_{1}^{2} =\ln(2)\approx 0{,}693$, qui appartient bien à $\left[\frac{1}{2}\,;1\right]$.