Exercice 21

On rappelle que si $a\leqslant b$ et $f\geqslant 0$ sur $[a\,;b]$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b}f\geqslant 0$. Il faut donc surveiller deux choses : le signe de la fonction, et l'ordre des bornes.

a) $x^{3}>0$ sur $[1\,;2]$ et $1<2$ : $\boxed{\text{intégrale positive}}$

b) $x^{3}<0$ sur $[-2\,;-1]$ et $-2<-1$ : $\boxed{\text{intégrale négative}}$

c) $\mathrm{e}^{-x}>0$ partout et $0<1$ : $\boxed{\text{intégrale positive}}$

d) $1-x<0$ sur $]1\,;2]$ et $1<2$ : $\boxed{\text{intégrale négative}}$

e) $x^{2}>0$ sur $[1\,;2]$, mais les bornes sont dans l'ordre décroissant : $\displaystyle\int_{2}^{1}x^{2}\,\mathrm{d}x=-\int_{1}^{2}x^{2}\,\mathrm{d}x$, donc $\boxed{\text{intégrale négative}}$ (premier piège)

f) La fonction $x\mapsto x$ est impaire et l'intervalle $[-1\,;1]$ est centré en $0$ : les aires situées de part et d'autre de l'origine se compensent exactement. $\boxed{\text{intégrale nulle}}$ (second piège)

g) Sur $[0\,;1]$, on a $x^{2}\leqslant x$, donc $x^{2}-x\leqslant 0$ : $\boxed{\text{intégrale négative}}$

h) Pour $x\in\left[0\,;\frac{1}{2}\right]$, $x+1\geqslant 1$ donc $\ln(x+1)\geqslant 0$ : $\boxed{\text{intégrale positive}}$