Exercice 20

1. La relation de Chasles donne $\displaystyle\int_{0}^{3}f=\int_{0}^{1}f+\int_{1}^{3}f$, d'où : $$\int_{1}^{3}f(x)\,\mathrm{d}x=7-2=\boxed{5} \qquad \text{puis} \qquad \int_{3}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x=\boxed{-5}$$

2. De même : $\displaystyle\int_{-2}^{5}g=\int_{-2}^{0}g+\int_{0}^{5}g=4+(-1)=\boxed{3}$

3. On sépare l'intervalle en $x=1$, là où l'expression change de forme. Pour $x\in[0\,;1]$, $|x-1|=1-x$ ; pour $x\in[1\,;2]$, $|x-1|=x-1$. $$\begin{aligned} \int_{0}^{2}|x-1|\,\mathrm{d}x &= \int_{0}^{1}(1-x)\,\mathrm{d}x+\int_{1}^{2}(x-1)\,\mathrm{d}x \\ &= \left[x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}+\left[\frac{x^{2}}{2}-x\right]_{1}^{2} \\ &= \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left((2-2)-\left(\frac{1}{2}-1\right)\right) = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\boxed{1} \end{aligned}$$

4. Même découpage : $$\int_{0}^{2}h(x)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x+\int_{1}^{2}(2-x)\,\mathrm{d}x =\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}+\left[2x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2} =\frac{1}{2}+\left(2-\frac{3}{2}\right)=\boxed{1}$$ Géométriquement, la courbe de $h$ est formée de deux segments : le domaine sous la courbe est un triangle de base $2$ et de hauteur $1$, dont l'aire vaut bien $\dfrac{2\times 1}{2}=1$.