Exercice 19

1. On utilise la linéarité de l'intégrale.

(a) $\displaystyle\int_{0}^{2}\left(f+g\right)(x)\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{2}f+\int_{0}^{2}g=5+(-3)=\boxed{2}$

(b) $\displaystyle\int_{0}^{2}3f(x)\,\mathrm{d}x=3\int_{0}^{2}f=3\times 5=\boxed{15}$

(c) $\displaystyle\int_{0}^{2}\left(2f(x)-g(x)\right)\mathrm{d}x =2\times 5-(-3)=10+3=\boxed{13}$

(d) $\displaystyle\int_{0}^{2}\left(f(x)+4g(x)\right)\mathrm{d}x =5+4\times(-3)=5-12=\boxed{-7}$

(e) $\displaystyle\int_{0}^{2}\left(f(x)+1\right)\mathrm{d}x =\int_{0}^{2}f+\int_{0}^{2}1\,\mathrm{d}x=5+\left[x\right]_{0}^{2}=5+2=\boxed{7}$

(f) $\displaystyle\int_{2}^{0}f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_{0}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x =\boxed{-5}$

Le piège de (e) est d'oublier que $\displaystyle\int_{0}^{2}1\,\mathrm{d}x$ ne vaut pas $1$ mais $2$ : c'est l'aire d'un rectangle de hauteur $1$ et de base $2$.

2. Par linéarité, puis en primitivant chaque terme : $$\int_{0}^{1}\left(3\mathrm{e}^{x}-2x\right)\mathrm{d}x=\left[3\mathrm{e}^{x}-x^{2}\right]_{0}^{1} =(3\mathrm{e}-1)-(3-0)=\boxed{3\mathrm{e}-4\approx 4{,}155}$$

3. Non. La linéarité porte sur les sommes et les multiples, pas sur les produits : $$\boxed{\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x\neq \left(\int_{a}^{b}f\right)\times\left(\int_{a}^{b}g\right) \text{ en général}}$$ Un contre-exemple suffit à s'en convaincre : avec $f(x)=g(x)=x$ sur $[0\,;1]$, le membre de gauche vaut $\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}$, tandis que celui de droite vaut $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$.