Exercice 18

1. $\displaystyle\int_{0}^{a}(2x+1)\,\mathrm{d}x=\left[x^{2}+x\right]_{0}^{a}=a^{2}+a$. On résout donc : $$a^{2}+a=6 \iff a^{2}+a-6=0$$ Le discriminant vaut $\Delta=1+24=25$, d'où $a=\dfrac{-1-5}{2}=-3$ ou $a=\dfrac{-1+5}{2}=2$. Comme $a>0$ : $$\boxed{a=2}$$

2. $\displaystyle\int_{1}^{a}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\left[\ln(x)\right]_{1}^{a}=\ln(a)$. On résout $\ln(a)=2$, soit : $$\boxed{a=\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}389}$$

3. $\displaystyle\int_{0}^{1}\left(x^{2}+m\right)\mathrm{d}x =\left[\frac{x^{3}}{3}+mx\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}+m$. On résout $\dfrac{1}{3}+m=2$ : $$\boxed{m=\frac{5}{3}}$$

4. La fonction $x\mapsto\dfrac{1}{x^{2}}$ est positive sur $[1\,;b]$, l'aire cherchée est donc l'intégrale : $$\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{2}}\,\mathrm{d}x=\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b} =-\frac{1}{b}+1=1-\frac{1}{b}$$ On résout $1-\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{2}$, soit $\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{2}$ : $$\boxed{b=2}$$

5. $\displaystyle\int_{0}^{a}\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x=\left[\mathrm{e}^{x}\right]_{0}^{a}=\mathrm{e}^{a}-1$. On résout $\mathrm{e}^{a}-1=\dfrac{1}{2}$, soit $\mathrm{e}^{a}=\dfrac{3}{2}$ : $$\boxed{a=\ln\!\left(\frac{3}{2}\right)\approx 0{,}405}$$ Un tel réel existe donc, et il est unique puisque la fonction exponentielle est strictement croissante.