Exercice 17

a) Forme $u'\,\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=x^{2}$ : $$\int_{0}^{1}2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\mathrm{d}x=\left[\mathrm{e}^{x^{2}}\right]_{0}^{1} =\mathrm{e}^{1}-\mathrm{e}^{0}=\boxed{\mathrm{e}-1\approx 1{,}718}$$

b) Forme $\dfrac{u'}{u}$ à un facteur $\dfrac{1}{2}$ près, avec $u(x)=x^{2}+1>0$ : $$\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,\mathrm{d}x =\left[\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\ln(2)-\frac{1}{2}\ln(1)=\boxed{\frac{\ln(2)}{2}\approx 0{,}347}$$

c) Forme $u'\,u^{2}$ avec $u(x)=x^{2}+x+1$ : $$\int_{0}^{1}(2x+1)\left(x^{2}+x+1\right)^{2}\mathrm{d}x =\left[\frac{\left(x^{2}+x+1\right)^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\boxed{\frac{26}{3}}$$

d) $\displaystyle\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x =\left[\frac{\mathrm{e}^{2x}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{\mathrm{e}^{2}}{2}-\frac{1}{2} =\boxed{\frac{\mathrm{e}^{2}-1}{2}\approx 3{,}195}$

e) Forme $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ à un facteur $\dfrac{1}{2}$ près, avec $u(x)=x^{2}+16$ : $$\int_{0}^{3}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+16}}\,\mathrm{d}x =\left[\sqrt{x^{2}+16}\right]_{0}^{3}=\sqrt{25}-\sqrt{16}=5-4=\boxed{1}$$

f) $\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{1}{2x+1}\,\mathrm{d}x =\left[\frac{1}{2}\ln(2x+1)\right]_{1}^{2}=\frac{1}{2}\left(\ln(5)-\ln(3)\right) =\boxed{\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{5}{3}\right)\approx 0{,}255}$

g) Avec $u(x)=x^{2}+2x+3=(x+1)^{2}+2>0$ et $u'(x)=2x+2$ : $$\int_{0}^{1}\frac{x+1}{x^{2}+2x+3}\,\mathrm{d}x =\left[\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+2x+3\right)\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\left(\ln(6)-\ln(3)\right)=\boxed{\frac{\ln(2)}{2}\approx 0{,}347}$$

h) $\displaystyle\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x=\left[-\mathrm{e}^{-x}\right]_{0}^{1} =-\mathrm{e}^{-1}+1=\boxed{1-\frac{1}{\mathrm{e}}\approx 0{,}632}$