Exercice 16

On applique à chaque fois le théorème 3 : on cherche une primitive $F$, puis on calcule $F(b)-F(a)$.

a) $\displaystyle\int_{0}^{2}\left(3x^{2}-2x+1\right)\mathrm{d}x =\left[x^{3}-x^{2}+x\right]_{0}^{2}=(8-4+2)-0=\boxed{6}$

b) $\displaystyle\int_{1}^{3}(2x-5)\,\mathrm{d}x=\left[x^{2}-5x\right]_{1}^{3} =(9-15)-(1-5)=-6+4=\boxed{-2}$

L'intégrale est négative : c'est normal, la fonction $x\mapsto 2x-5$ est négative sur la plus grande partie de $[1\,;3]$.

c) $\displaystyle\int_{-1}^{1}\left(x^{3}+x\right)\mathrm{d}x =\left[\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{1} =\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)=\boxed{0}$

La fonction est impaire : les aires situées de part et d'autre de l'origine se compensent exactement.

d) $\displaystyle\int_{1}^{4}\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x =\left[2\sqrt{x}\right]_{1}^{4}=4-2=\boxed{2}$

e) $\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{1}{x^{2}}\,\mathrm{d}x =\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{2}=-\frac{1}{2}+1=\boxed{\frac{1}{2}}$

f) $\displaystyle\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x=\left[\mathrm{e}^{x}\right]_{0}^{1} =\mathrm{e}-1\approx\boxed{1{,}718}$

g) $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\left[\ln(x)\right]_{1}^{\mathrm{e}} =\ln(\mathrm{e})-\ln(1)=1-0=\boxed{1}$

h) $\displaystyle\int_{0}^{1}\left(x^{3}-2x+3\right)\mathrm{d}x =\left[\frac{x^{4}}{4}-x^{2}+3x\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}-1+3=\boxed{\frac{9}{4}}$