Exercice 15

1. (a) La fonction $t\mapsto t^{2}+1$ est continue et positive sur $[1\,;+\infty[$. D'après le théorème fondamental de l'analyse, $\Phi$ est dérivable et sa dérivée est la fonction intégrée : $$\boxed{\Phi'(x)=x^{2}+1}$$

(b) Les deux bornes sont égales lorsque $x=1$, donc $\boxed{\Phi(1)=0}$. Par ailleurs $\Phi'(x)=x^{2}+1>0$ pour tout $x$ : $$\boxed{\Phi \text{ est strictement croissante sur } [1\,;+\infty[}$$

(c) Une primitive de $t\mapsto t^{2}+1$ est $t\mapsto\dfrac{t^{3}}{3}+t$, donc : $$\Phi(x)=\left[\frac{t^{3}}{3}+t\right]_{1}^{x} =\left(\frac{x^{3}}{3}+x\right)-\left(\frac{1}{3}+1\right) =\boxed{\frac{x^{3}}{3}+x-\frac{4}{3}}$$ On vérifie : $\Phi'(x)=x^{2}+1$ et $\Phi(1)=\dfrac{1}{3}+1-\dfrac{4}{3}=0$. Les deux réponses précédentes sont bien confirmées.

2. (a) La fonction $t\mapsto\mathrm{e}^{-t^{2}}$ est continue et strictement positive sur $[0\,;+\infty[$, donc : $$\boxed{G'(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}>0} \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{G \text{ est strictement croissante sur } [0\,;+\infty[}$$

(b) C'est tout l'intérêt du théorème : il donne accès à la dérivée d'une fonction dont on ne connaît pas l'expression. On peut donc étudier les variations de $G$, la comparer, l'encadrer, alors même qu'aucune formule ne la décrit à l'aide des fonctions usuelles. La fonction $G$ est d'ailleurs fondamentale en probabilités : c'est elle qui gouverne la loi normale.

3. (a) Le théorème fondamental donne $\boxed{H'(x)=x^{2}-3x+2}$. Ce trinôme a pour racines $1$ et $2$ (somme $3$, produit $2$), et son coefficient dominant est positif : $$\boxed{H'(x)>0 \text{ sur } [0\,;1[\;\cup\;]2\,;3] \qquad ; \qquad H'(x)<0 \text{ sur } ]1\,;2[}$$

(b) Une primitive de $t\mapsto t^{2}-3t+2$ est $t\mapsto\dfrac{t^{3}}{3}-\dfrac{3t^{2}}{2} +2t$, qui s'annule en $0$. Donc $H(x)=\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{3x^{2}}{2}+2x$, d'où : $$H(0)=0 \quad ; \quad H(1)=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2=\frac{5}{6} \quad ; \quad H(2)=\frac{8}{3}-6+4=\frac{2}{3} \quad ; \quad H(3)=9-\frac{27}{2}+6=\frac{3}{2}$$

On remarquera que $H$ reste positive sur $[0\,;3]$ bien que la fonction intégrée soit négative sur $]1\,;2[$ : l'aire perdue entre $1$ et $2$ ne suffit pas à compenser celle gagnée avant.