Exercice 14

1. La fonction étant positive, chaque intégrale est l'aire du domaine correspondant : $$\boxed{\int_{0}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x=4{,}2} \qquad \text{et} \qquad \boxed{\int_{2}^{5}f(x)\,\mathrm{d}x=6{,}3}$$

2. Les deux domaines se recollent exactement en $x=2$ : $$\int_{0}^{5}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x+\int_{2}^{5}f(x)\,\mathrm{d}x =4{,}2+6{,}3=\boxed{10{,}5}$$

3. Les deux bornes sont égales : le domaine se réduit à un segment, dont l'aire est nulle. $$\boxed{\int_{3}^{3}f(x)\,\mathrm{d}x=0}$$

4. On lit sur le graphique que la courbe reste comprise entre les deux droites en pointillés : $$\boxed{m=1 \qquad \text{et} \qquad M=3}$$ L'inégalité de la moyenne sur $[0\,;5]$, de longueur $5$, donne alors : $$1\times 5\leqslant\int_{0}^{5}f(x)\,\mathrm{d}x\leqslant 3\times 5 \qquad \text{soit} \qquad \boxed{5\leqslant\int_{0}^{5}f(x)\,\mathrm{d}x\leqslant 15}$$ La valeur $10{,}5$ trouvée à la question 2 appartient bien à cet intervalle.

5. L'encadrement est très large : son amplitude vaut $10$, pour une intégrale d'environ $10{,}5$. On peut l'améliorer en découpant l'intervalle et en appliquant l'inégalité de la moyenne sur chaque morceau, avec des bornes lues localement. Sur $[0\,;2]$, on lit $1{,}2\leqslant f(x)\leqslant 3$, et sur $[2\,;5]$, $1{,}4\leqslant f(x)\leqslant 2{,}8$ : $$\underbrace{2\times 1{,}2}_{=2{,}4}+\underbrace{3\times 1{,}4}_{=4{,}2} \leqslant\int_{0}^{5}f(x)\,\mathrm{d}x\leqslant \underbrace{2\times 3}_{=6}+\underbrace{3\times 2{,}8}_{=8{,}4}$$

$$\boxed{6{,}6\leqslant\int_{0}^{5}f(x)\,\mathrm{d}x\leqslant 14{,}4}$$ L'amplitude est passée de $10$ à $7{,}8$. Plus le découpage est fin, meilleur est l'encadrement : c'est exactement l'idée de la méthode des rectangles.