Exercice 13

a) Trapèze de bases $f(0)=1$ et $f(3)=7$, de hauteur $3$ : $\boxed{\displaystyle\int_{0}^{3}(2x+1)\,\mathrm{d}x=12}$

b) Rectangle de hauteur $3$ et de base $4-(-1)=5$ : $\boxed{\displaystyle\int_{-1}^{4}3\,\mathrm{d}x=15}$

c) Triangle rectangle de base $2$ et de hauteur $2$ : $\boxed{\displaystyle\int_{0}^{2}(-x+2)\,\mathrm{d}x=2}$

d) Deux triangles rectangles isocèles de côté $2$ : $\boxed{\displaystyle\int_{-2}^{2}|x|\,\mathrm{d}x=4}$

e) Pour $y\geqslant 0$, $y=\sqrt{4-x^{2}}$ équivaut à $y^{2}=4-x^{2}$, c'est-à-dire $x^{2}+y^{2}=4$ : la courbe est le demi-cercle supérieur de centre $O$ et de rayon $2$. L'aire cherchée est celle d'un demi-disque de rayon $2$ : $$\boxed{\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi\times 2^{2}}{2}=2\pi \approx 6{,}28}$$

On vérifie a) par le calcul : $\left[x^{2}+x\right]_{0}^{3}=9+3=12$. En revanche, aucune primitive de $x\mapsto\sqrt{4-x^{2}}$ ne figure au tableau : seule la lecture géométrique permet de conclure en e).