Exercice 12

1. Sur la figure ci-dessous, les six carreaux entièrement contenus dans le domaine sont coloriés en ocre.

$$\boxed{6 \text{ carreaux entiers} \qquad ; \qquad 12 \text{ carreaux rencontrés}}$$ En effet, au-dessus de chacune des quatre colonnes, le domaine atteint la troisième rangée : il rencontre donc $4\times 3=12$ carreaux.

2. Chaque carreau ayant une aire de $1$ unité d'aire : $$\boxed{6\leqslant\int_{0}^{4}f(x)\,\mathrm{d}x\leqslant 12}$$

3. Les six carreaux incomplets sont recouverts, à vue, à un peu plus de la moitié chacun. En comptant environ $3{,}5$ carreaux supplémentaires : $$\boxed{\int_{0}^{4}f(x)\,\mathrm{d}x\approx 9{,}5}$$

4. Une primitive de $f$ est $F(x)=-\dfrac{x^{3}}{6}+x^{2}+x$, donc : $$\begin{aligned} \int_{0}^{4}f(x)\,\mathrm{d}x &= \left[-\frac{x^{3}}{6}+x^{2}+x\right]_{0}^{4} = \left(-\frac{64}{6}+16+4\right)-0 \\ &= -\frac{32}{3}+20=\frac{-32+60}{3}=\boxed{\frac{28}{3}\approx 9{,}33} \end{aligned}$$ Ce nombre appartient bien à $[6\,;12]$, et l'estimation $9{,}5$ le prédisait à $0{,}2$ près : le comptage de carreaux donne un ordre de grandeur honnête, mais un encadrement très grossier.