Exercice 11

1. Les quatre intervalles sont $[0\,;0{,}25]$, $[0{,}25\,;0{,}5]$, $[0{,}5\,;0{,}75]$ et $[0{,}75\,;1]$. La fonction carré étant croissante sur $[0\,;1]$, la hauteur d'un rectangle inférieur se lit au bord gauche, celle d'un rectangle supérieur au bord droit.

2. Chaque rectangle a pour largeur $\dfrac{1}{4}$. On somme donc les hauteurs, puis on multiplie par $\dfrac{1}{4}$ : $$\begin{aligned} s_{4} &= \frac{1}{4}\left(f(0)+f\!\left(\tfrac{1}{4}\right)+f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) +f\!\left(\tfrac{3}{4}\right)\right) = \frac{1}{4}\left(0+\frac{1}{16}+\frac{4}{16}+\frac{9}{16}\right) \\ &= \frac{1}{4}\times\frac{14}{16}=\boxed{\frac{7}{32}=0{,}21875} \end{aligned}$$

3. Le domaine contient les rectangles inférieurs et est contenu dans les rectangles supérieurs : $$\boxed{\frac{7}{32}\leqslant \mathcal{A}\leqslant\frac{15}{32}} \qquad \text{soit} \qquad 0{,}218\leqslant\mathcal{A}\leqslant 0{,}469$$

4. Pour un découpage en $n$ intervalles de largeur $\dfrac{1}{n}$ : $$s_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\!\left(\frac{k}{n}\right) \qquad \text{et} \qquad S_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\frac{k}{n}\right)$$ Ces deux sommes contiennent les mêmes termes, sauf que la première commence par $f(0)$ et s'arrête à $f\!\left(\frac{n-1}{n}\right)$, tandis que la seconde commence à $f\!\left(\frac{1}{n}\right)$ et se termine par $f(1)$. Tous les termes intermédiaires se simplifient dans la différence : $$S_{n}-s_{n}=\frac{1}{n}\left(f(1)-f(0)\right)=\frac{1}{n}(1-0)=\boxed{\frac{1}{n}}$$

5. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $\dfrac{1}{n}<10^{-2}$, c'est-à-dire $n>100$ : $$\boxed{n=101 \text{ intervalles suffisent}}$$

6. On a bien $\dfrac{7}{32}\approx 0{,}219\leqslant\dfrac{1}{3}\approx 0{,}333 \leqslant\dfrac{15}{32}\approx 0{,}469$ : l'encadrement est cohérent, mais très large. Avec $n=4$ seulement, on ne connaît pas encore la première décimale de $\mathcal{A}$.