Exercice 10

1. Les trois courbes se déduisent les unes des autres par translation verticale : elles ont exactement la même forme, décalée vers le haut ou vers le bas. Or deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante, ce qui se traduit graphiquement par une telle translation. $$\boxed{\text{Ces trois courbes peuvent donc représenter } F,\; F+k_{1} \text{ et } F+k_{2}}$$ Elles ont d'ailleurs, pour chaque abscisse, des tangentes parallèles : c'est bien le signe que leurs dérivées coïncident.

2. La courbe de gauche est une parabole coupant l'axe des abscisses en $-1$ et en $1$ : $$\boxed{\begin{array}{l} f(x)>0 \text{ pour } x\in\left]-\infty\,;-1\right[\cup\left]1\,;+\infty\right[ \\[1mm] f(x)<0 \text{ pour } x\in\left]-1\,;1\right[ \\[1mm] f(x)=0 \text{ pour } x=-1 \text{ et } x=1 \end{array}}$$ Les trois courbes de droite sont effectivement croissantes avant $-1$ et après $1$, et décroissantes entre $-1$ et $1$ : elles présentent un maximum local en $-1$ et un minimum local en $1$, exactement là où $f$ s'annule en changeant de signe. La cohérence est donc totale.

3. La primitive cherchée est celle dont la courbe passe par l'origine : $$\boxed{\text{c'est } \mathcal{C}_{2}}$$ Les deux autres s'en déduisent par translation de $1{,}5$ vers le haut et vers le bas : $$\boxed{\mathcal{C}_{1} \text{ représente } F+1{,}5 \qquad \text{et} \qquad \mathcal{C}_{3} \text{ représente } F-1{,}5}$$

4. Une primitive de $f(x)=x^{2}-1$ est $F_{0}(x)=\dfrac{x^{3}}{3}-x$, donc $F(x)=\dfrac{x^{3}}{3}-x+k$. La condition $F(0)=0$ donne $k=0$ : $$\boxed{F(x)=\frac{x^{3}}{3}-x}$$ On calcule alors : $$F(1)=\frac{1}{3}-1=\boxed{-\frac{2}{3}\approx -0{,}67} \qquad \text{et} \qquad F(-1)=-\frac{1}{3}+1=\boxed{\frac{2}{3}\approx 0{,}67}$$ Ces deux valeurs sont bien celles que l'on lit sur $\mathcal{C}_{2}$ : un maximum local d'environ $0{,}7$ en $x=-1$, et un minimum local d'environ $-0{,}7$ en $x=1$.