Exercice 9

1. $F_{0}(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}$, donc $F(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}+k$. Or $F(0)=\mathrm{e}^{0}+k=1+k=1$, d'où $k=0$ : $$\boxed{F(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}}$$

2. $x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1>0$, donc $F_{0}(x)=\ln\left(x^{2}+2x+2\right)$ et $F(x)=\ln\left(x^{2}+2x+2\right)+k$. Or $F(0)=\ln(2)+k=\ln(2)$, d'où $k=0$ : $$\boxed{F(x)=\ln\left(x^{2}+2x+2\right)}$$

3. $F_{0}(x)=-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}$, donc $F(x)=-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}+k$. Or $F(0)=-\dfrac{1}{2}+k=0$, d'où $k=\dfrac{1}{2}$ : $$\boxed{F(x)=\frac{1-\mathrm{e}^{-2x}}{2}}$$

4. $F_{0}(x)=\sqrt{x^{2}+9}$, donc $F(x)=\sqrt{x^{2}+9}+k$. Or $F(0)=\sqrt{9}+k=3+k=5$, d'où $k=2$ : $$\boxed{F(x)=\sqrt{x^{2}+9}+2}$$

5. $F_{0}(x)=\dfrac{(3x+1)^{3}}{3}$, donc $F(x)=\dfrac{(3x+1)^{3}}{3}+k$. Or $F(0)=\dfrac{1}{3}+k=2$, d'où $k=\dfrac{5}{3}$ : $$\boxed{F(x)=\frac{(3x+1)^{3}}{3}+\frac{5}{3}}$$