ExerciceTerminale, chapitre 6 — Calcul intégral · Primitives d'une fonction

Exercice 8

Calcul

Dans chaque cas, déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $I$ vérifiant la condition indiquée.

1. $f(x)=2x-3$ sur $\mathbb{R}$ , avec $F(1)=4$ .

2. $f(x)=3x^{2}+1$ sur $\mathbb{R}$ , avec $F(0)=-2$ .

3. $f(x)=\mathrm{e}^{x}$ sur $\mathbb{R}$ , avec $F(0)=3$ .

4. $f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}$ sur $\left]0\,;+\infty\right[$ , avec $F(1)=0$ .

5. $f(x)=\dfrac{1}{x}$ sur $\left]0\,;+\infty\right[$ , avec $F(\mathrm{e})=1$ .

6. $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ sur $\left]0\,;+\infty\right[$ , avec $F(4)=5$ .

Corrigé

On applique la méthode du cours : une primitive $F_{0}$ , puis $F=F_{0}+k$ , puis la condition.

1. $F_{0}(x)=x^{2}-3x$ , donc $F(x)=x^{2}-3x+k$ . La condition $F(1)=4$ donne $1-3+k=4$ , soit $k=6$ : $\boxed{F(x)=x^{2}-3x+6}$

2. $F_{0}(x)=x^{3}+x$ , donc $F(x)=x^{3}+x+k$ . La condition $F(0)=-2$ donne $k=-2$ : $\boxed{F(x)=x^{3}+x-2}$

3. $F(x)=\mathrm{e}^{x}+k$ et $F(0)=1+k=3$ , soit $k=2$ : $\boxed{F(x)=\mathrm{e}^{x}+2}$

4. $F(x)=-\dfrac{1}{x}+k$ et $F(1)=-1+k=0$ , soit $k=1$ : $\boxed{F(x)=-\dfrac{1}{x}+1}$

5. $F(x)=\ln(x)+k$ et $F(\mathrm{e})=\ln(\mathrm{e})+k=1+k=1$ , soit $k=0$ : $\boxed{F(x)=\ln(x)}$

6. $F(x)=2\sqrt{x}+k$ et $F(4)=2\times 2+k=4+k=5$ , soit $k=1$ : $\boxed{F(x)=2\sqrt{x}+1}$

primitive, exponentielle