Exercice 7

a) $x^{2}-4x+7=(x-2)^{2}+3>0$. Avec $u(x)=x^{2}-4x+7$ et $u'(x)=2x-4$, la forme $\dfrac{u'}{u}$ est exacte : $$\boxed{F(x)=\ln\left(x^{2}-4x+7\right) \quad \text{sur } \mathbb{R}}$$

b) $u(x)=x^{4}$ et $u'(x)=4x^{3}$, forme $u'\,\mathrm{e}^{u}$ : $\boxed{F(x)=\mathrm{e}^{x^{4}} \quad \text{sur } \mathbb{R}}$

c) $u(x)=\ln(x)$ et $u'(x)=\dfrac{1}{x}$, forme $u'\,u^{3}$ : $\boxed{F(x)=\dfrac{\left(\ln(x)\right)^{4}}{4} \quad \text{sur } \left]0\,;+\infty\right[}$

d) $u(x)=x^{3}+2x+1$ et $u'(x)=3x^{2}+2$, forme $\dfrac{u'}{u^{2}}$ : $\boxed{F(x)=-\dfrac{1}{x^{3}+2x+1} \quad \text{sur } \left]0\,;+\infty\right[}$

e) $u(x)=\mathrm{e}^{x}+1$ et $u'(x)=\mathrm{e}^{x}$, forme $u'\,u^{3}$ : $\boxed{F(x)=\dfrac{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{4}}{4} \quad \text{sur } \mathbb{R}}$

f) $u(x)=x^{2}+x$ et $u'(x)=2x+1$, forme $u'\,\mathrm{e}^{u}$ : $\boxed{F(x)=\mathrm{e}^{x^{2}+x} \quad \text{sur } \mathbb{R}}$

g) $u(x)=x^{2}+1>0$ et $u'(x)=2x$ : le facteur présent est $\dfrac{1}{2}u'$. $$\boxed{F(x)=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right) \quad \text{sur } \mathbb{R}}$$

h) $u(x)=3x^{2}+2>0$ et $u'(x)=6x$, forme $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ exacte : $\boxed{F(x)=2\sqrt{3x^{2}+2} \quad \text{sur } \mathbb{R}}$

i) $x^{2}+2x+3=(x+1)^{2}+2>0$, $u'(x)=2x+2$ et le numérateur vaut $\dfrac{1}{2}u'$ : $$\boxed{F(x)=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+2x+3\right) \quad \text{sur } \mathbb{R}}$$

j) $u(x)=\mathrm{e}^{2x}+1>0$ et $u'(x)=2\mathrm{e}^{2x}$ : le numérateur vaut $\dfrac{1}{2}u'$. $$\boxed{F(x)=\frac{1}{2}\ln\left(\mathrm{e}^{2x}+1\right) \quad \text{sur } \mathbb{R}}$$

Pour d), l'intervalle mérite attention : $x^{3}+2x+1$ s'annule une fois sur $\mathbb{R}$ (entre $-1$ et $0$), et la fonction n'est donc pas définie partout. Sur $\left]0\,;+\infty\right[$, le dénominateur est strictement positif, ce qui suffit.