Exercice 6

Une primitive de $u'\,\mathrm{e}^{u}$ est $\mathrm{e}^{u}$, et une primitive de $\dfrac{u'}{u}$ (avec $u>0$) est $\ln(u)$.

a) $u(x)=x^{2}$, $u'(x)=2x$ : $\boxed{F(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}}$

b) $u(x)=3x$, $u'(x)=3$, absent : $f(x)=\dfrac{1}{3}\times 3\mathrm{e}^{3x}$, d'où $\boxed{F(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{3x}}{3}}$

c) $u(x)=-x$, $u'(x)=-1$ : $f(x)=-\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)$, d'où $\boxed{F(x)=-\mathrm{e}^{-x}}$

d) Le discriminant de $x^{2}+x+5$ vaut $\Delta=1-20=-19<0$ et le coefficient dominant est positif : ce trinôme est donc strictement positif sur $\mathbb{R}$. Avec $u(x)=x^{2}+x+5$ et $u'(x)=2x+1$ : $$\boxed{F(x)=\ln\left(x^{2}+x+5\right) \quad \text{sur } \mathbb{R}}$$

e) $u(x)=2x+1$, $u'(x)=2$ : $f(x)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{2x+1}$, d'où $\boxed{F(x)=\dfrac{1}{2}\ln(2x+1) \quad \text{sur } \left]-\frac{1}{2}\,;+\infty\right[}$

f) $u(x)=x^{2}+1$, $u'(x)=2x$ : $f(x)=\dfrac{1}{2}\times 2x\,\mathrm{e}^{x^{2}+1}$, d'où $\boxed{F(x)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{x^{2}+1}}$

g) $u(x)=\mathrm{e}^{x}+1>0$ et $u'(x)=\mathrm{e}^{x}$ : la forme $\dfrac{u'}{u}$ est exacte. $$\boxed{F(x)=\ln\left(\mathrm{e}^{x}+1\right) \quad \text{sur } \mathbb{R}}$$

h) Ce n'est pas une des deux formes annoncées, mais la forme $u'\,u$ avec $u(x)=\ln(x)$ et $u'(x)=\dfrac{1}{x}$ : $$\boxed{F(x)=\frac{\left(\ln(x)\right)^{2}}{2} \quad \text{sur } \left]0\,;+\infty\right[}$$