Exercice 5

On rappelle qu'une primitive de $\dfrac{u'}{u^{2}}$ est $-\dfrac{1}{u}$, et qu'une primitive de $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ est $2\sqrt{u}$.

a) $u(x)=x^{2}+1$, $u'(x)=2x$, et $u$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$ : $$\boxed{F(x)=-\frac{1}{x^{2}+1} \quad \text{sur } \mathbb{R}}$$

b) $u(x)=x+2$, $u'(x)=1$, avec $u\neq 0$ pour $x\neq -2$ : $$\boxed{F(x)=-\frac{1}{x+2} \quad \text{sur } \left]-2\,;+\infty\right[}$$

c) $u(x)=x^{2}+4>0$ et $u'(x)=2x$. Le facteur présent est $\dfrac{1}{2}u'$ : $$f(x)=\frac{1}{2}\times\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+4}} \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{F(x)=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{x^{2}+4}=\sqrt{x^{2}+4} \quad \text{sur } \mathbb{R}}$$

d) $u(x)=3x-5$ et $u'(x)=3$ : la forme est exacte. $$\boxed{F(x)=-\frac{1}{3x-5} \quad \text{sur } \left]\frac{5}{3}\,;+\infty\right[}$$

e) $u(x)=2x+1$ et $u'(x)=2$. On fait apparaître le facteur $2$ : $$f(x)=\frac{1}{2}\times\frac{2}{\sqrt{2x+1}} \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{F(x)=\sqrt{2x+1} \quad \text{sur } \left]-\frac{1}{2}\,;+\infty\right[}$$

f) $u(x)=x^{2}+2x+3$ et $u'(x)=2x+2$ : la forme est exacte. De plus $x^{2}+2x+3=(x+1)^{2}+2>0$, donc $u$ ne s'annule pas. $$\boxed{F(x)=-\frac{1}{x^{2}+2x+3} \quad \text{sur } \mathbb{R}}$$