Exercice 4

Une primitive de $u'\,u^{n}$ est $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$. Toute la difficulté est de vérifier que le facteur placé devant est bien $u'$, et de rétablir la constante manquante sinon.

a) $u(x)=x^{2}+1$ et $u'(x)=2x$ : la forme est exactement $u'\,u^{3}$. $$\boxed{F(x)=\frac{\left(x^{2}+1\right)^{4}}{4}}$$

b) $u(x)=x^{2}+3x$ et $u'(x)=2x+3$ : la forme est exactement $u'\,u^{5}$. $$\boxed{F(x)=\frac{\left(x^{2}+3x\right)^{6}}{6}}$$

c) $u(x)=3x-1$ et $u'(x)=3$ : la forme est exactement $u'\,u^{4}$. $$\boxed{F(x)=\frac{(3x-1)^{5}}{5}}$$

d) $u(x)=x^{2}-4$ et $u'(x)=2x$. Or le facteur présent est $x$, soit $\dfrac{1}{2}u'$ : $$f(x)=\frac{1}{2}\times 2x\left(x^{2}-4\right)^{2} \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{F(x)=\frac{1}{2}\times\frac{\left(x^{2}-4\right)^{3}}{3} =\frac{\left(x^{2}-4\right)^{3}}{6}}$$

e) $u(x)=4x-1$ et $u'(x)=4$. Le facteur $4$ est absent, on le fait apparaître : $$f(x)=\frac{1}{4}\times 4(4x-1)^{3} \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{F(x)=\frac{(4x-1)^{4}}{16}}$$

f) $u(x)=x^{2}+x+1$ et $u'(x)=2x+1$ : la forme est exactement $u'\,u^{2}$. $$\boxed{F(x)=\frac{\left(x^{2}+x+1\right)^{3}}{3}}$$