Exercice 32 Type Bac

Partie A : lecture graphique.

1. Une primitive $F$ de $f$ est croissante exactement là où $f$ est positive. Or la courbe $\mathcal{C}_{2}$ coupe l'axe des abscisses en $x=2$ en passant du positif au négatif, et c'est précisément en $x=2$ que $\mathcal{C}_{1}$ atteint son maximum. À l'inverse, le maximum de $\mathcal{C}_{2}$, situé en $x=1$, ne correspond à aucun changement de sens sur $\mathcal{C}_{1}$. $$\boxed{\mathcal{C}_{2} \text{ est la courbe de } f \qquad ; \qquad \mathcal{C}_{1} \text{ est celle de } F}$$

2. On lit les ordonnées à l'origine des deux courbes : $$\boxed{F(0)=3 \qquad \text{et} \qquad f(0)=2}$$

3. Le signe de $f$ se lit sur $\mathcal{C}_{2}$, et il commande les variations de $F$ :

La fonction $F$ est donc croissante sur $[-2\,;2]$ puis décroissante sur $[2\,;2{,}5]$, avec un maximum $F(2)=\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}39$ : c'est bien ce que montre $\mathcal{C}_{1}$.

Partie B : calcul.

4. $G$ est un produit : $$\left\{\begin{array}{l} u(x)=3-x \\[2mm] u'(x)=-1 \end{array}\right. \qquad\qquad \left\{\begin{array}{l} v(x)=\mathrm{e}^{x} \\[2mm] v'(x)=\mathrm{e}^{x} \end{array}\right.$$

$$\boxed{G \text{ est bien une primitive de } f \text{ sur } \mathbb{R}}$$ Ce n'est pas la seule : toutes les fonctions $G+k$ le sont aussi. On remarque d'ailleurs que $G(0)=3=F(0)$ : la primitive lue sur le graphique est précisément $G$.

5. $$\int_{0}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x=\Big[(3-x)\mathrm{e}^{x}\Big]_{0}^{2} =(3-2)\mathrm{e}^{2}-(3-0)\mathrm{e}^{0}=\boxed{\mathrm{e}^{2}-3\approx 4{,}39}$$

6. Pour $x\in[0\,;2]$, on a $2-x\geqslant 0$ et $\mathrm{e}^{x}>0$, donc $f(x)\geqslant 0$. $$\boxed{\text{L'aire du domaine sous } \mathcal{C}_{2} \text{ entre } 0 \text{ et } 2 \text{ vaut } \mathrm{e}^{2}-3\approx 4{,}39 \text{ unités d'aire}}$$

7. $$\mu=\frac{1}{2-0}\int_{0}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{e}^{2}-3}{2} \approx\boxed{2{,}19}$$ C'est cohérent : sur $[0\,;2]$, la courbe de $f$ part de $2$, monte jusqu'à $f(1)=\mathrm{e}\approx 2{,}72$, puis redescend à $0$. Une moyenne d'environ $2{,}2$ est bien du bon ordre de grandeur, et elle est comprise entre le minimum $0$ et le maximum $\mathrm{e}$ de $f$ sur cet intervalle.