Exercice 33 Type Bac

Partie A : lecture graphique.

1. On lit sur le quadrillage : $$\boxed{f(0)\approx 4 \quad ; \quad f(1)\approx 2{,}4 \quad ; \quad f(2)\approx 1{,}5 \quad ; \quad f(3)\approx 0{,}9 \quad ; \quad f(4)\approx 0{,}5}$$

2. La fonction étant décroissante, sur chaque intervalle $[k\,;k+1]$ le minimum est atteint à droite et le maximum à gauche. Les rectangles ayant tous pour largeur $1$ : $$s_{4}=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)\approx 2{,}4+1{,}5+0{,}9+0{,}5=\boxed{5{,}3}$$

3. $$\boxed{5{,}3\leqslant\int_{0}^{4}f(x)\,\mathrm{d}x\leqslant 8{,}8}$$ En prenant le milieu de cet encadrement, on obtient l'estimation : $$\boxed{\int_{0}^{4}f(x)\,\mathrm{d}x\approx\frac{5{,}3+8{,}8}{2}\approx 7{,}1}$$

Partie B : calcul.

4. On calcule : $f(0)=4$, $f(1)=4\mathrm{e}^{-0{,}5}\approx 2{,}43$, $f(2)=4\mathrm{e}^{-1}\approx 1{,}47$, $f(3)=4\mathrm{e}^{-1{,}5}\approx 0{,}89$ et $f(4)=4\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}54$. $$\boxed{\text{Les valeurs lues sont bien cohérentes avec cette expression}}$$

5. On reconnaît la forme $u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=-\dfrac{x}{2}$, dont la dérivée vaut $-\dfrac{1}{2}$. Il manque donc un facteur $-\dfrac{1}{2}$, que l'on compense par $-2$ : $$f(x)=4\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}=-8\times\left(-\frac{1}{2}\right)\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{F(x)=-8\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}$$ On vérifie : $F'(x)=-8\times\left(-\frac{1}{2}\right)\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}=4\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}=f(x)$.

6. $$\int_{0}^{4}f(x)\,\mathrm{d}x=\left[-8\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\right]_{0}^{4} =-8\mathrm{e}^{-2}+8=\boxed{8-8\mathrm{e}^{-2}\approx 6{,}92}$$ Cette valeur appartient bien à $[5{,}3\,;8{,}8]$. L'estimation $7{,}1$ obtenue par le milieu de l'encadrement était bonne à $0{,}2$ près : avec seulement quatre rectangles, c'est déjà satisfaisant.

7. $$\mu=\frac{1}{4}\int_{0}^{4}f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{8-8\mathrm{e}^{-2}}{4} =2-2\mathrm{e}^{-2}\approx\boxed{1{,}73}$$

Le rectangle violet, de base $[0\,;4]$ et de hauteur $\mu$, a exactement la même aire que le domaine situé sous la courbe : c'est le niveau auquel il faudrait « araser » la courbe pour obtenir la même quantité. On voit d'ailleurs que la partie de courbe située au-dessus de la droite, entre $0$ et environ $2$, compense exactement celle située en dessous après.